注 利用本题结论解下列题目更简单. 设f(u)可导，z=xyf((y)/(x))，若x(partial z)/(partial x)+y(partial z)/(partial y)=xy(lny-lnx)，则 (A.)f(1)=(1)/(2),f^prime(1)=0. (B.)f(1)=0,f^prime(1)=(1)/(2). (C.)f(1)=(1)/(2),f^prime(1)=1. (D.)f(1)=0,f^prime(1)=1.

考查要点：本题主要考查多元复合函数的偏导数计算，以及齐次函数的性质应用。关键在于正确求出偏导数并代入给定条件，进而求解函数$f(u)$的具体形式。

解题思路：

1. 求偏导数：对$z=xyf\left(\frac{y}{x}\right)$分别求$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$，注意应用乘积法则和链式法则。
2. 代入条件：将偏导数代入方程$x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y} = xy(\ln y - \ln x)$，化简得到关于$f\left(\frac{y}{x}\right)$的方程。
3. 求解函数$f(u)$：通过变量代换$u = \frac{y}{x}$，确定$f(u)$的表达式，最终计算$f(1)$和$f'(1)$的值。

破题关键：通过偏导数的计算发现方程化简后与$x$和$y$无关，从而确定$f(u)$的具体形式。

1. 求偏导数

对$x$求偏导：
$\frac{\partial z}{\partial x} = y f\left(\frac{y}{x}\right) + xy \cdot f'\left(\frac{y}{x}\right) \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) = y f\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y^2}{x} f'\left(\frac{y}{x}\right)$

对$y$求偏导：
$\frac{\partial z}{\partial y} = x f\left(\frac{y}{x}\right) + xy \cdot f'\left(\frac{y}{x}\right) \cdot \frac{1}{x} = x f\left(\frac{y}{x}\right) + y f'\left(\frac{y}{x}\right)$

2. 代入条件方程

将偏导数代入$x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y}$：
$\begin{aligned}x \left( y f\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y^2}{x} f'\left(\frac{y}{x}\right) \right) + y \left( x f\left(\frac{y}{x}\right) + y f'\left(\frac{y}{x}\right) \right) &= 2xy f\left(\frac{y}{x}\right) \\&= xy (\ln y - \ln x)\end{aligned}$

3. 化简方程

两边除以$xy$（假设$xy \neq 0$）：
$2 f\left(\frac{y}{x}\right) = \ln \left( \frac{y}{x} \right)$

令$u = \frac{y}{x}$，则$f(u) = \frac{1}{2} \ln u$。

4. 求$f(1)$和$f'(1)$

• $f(1) = \frac{1}{2} \ln 1 = 0$
• $f'(u) = \frac{1}{2u}$，故$f'(1) = \frac{1}{2}$