题目
设:(x)^2+(y)^2+(z)^2leqslant (R)^2，则三重积分:(x)^2+(y)^2+(z)^2leqslant (R)^2 ( ) A . :(x)^2+(y)^2+(z)^2leqslant (R)^2B . :(x)^2+(y)^2+(z)^2leqslant (R)^2
设
，则三重积分
( )
A . 
B . 
题目解答
答案
由题意可得，被积函数
是关于
的奇函数，积分域关于
平面对称。
所以，
故，
选B
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域$l:{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\leqslant {R}^{2}$是一个半径为$R$的球体，其体积为$V_Q = \frac{4}{3}\pi R^3$。
步骤 2：分析被积函数
被积函数$({x}^{2}+{y}^{2})z$是关于$z$的奇函数，积分区域$l$关于$z=0$平面对称。因此，积分${\iint }_{Q}({x}^{2}+{y}^{2})zdv=0$。
步骤 3：计算三重积分
根据步骤2，${\iint }_{Q}({x}^{2}+{y}^{2})zdv=0$，所以${\iint }_{Q}[ ({x}^{2}+{y}^{2})z+3]dv=3{\iint }_{Q}dv=3V_Q=3\cdot\frac{4}{3}\pi R^3=4\pi R^3$。
积分区域$l:{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\leqslant {R}^{2}$是一个半径为$R$的球体，其体积为$V_Q = \frac{4}{3}\pi R^3$。
步骤 2：分析被积函数
被积函数$({x}^{2}+{y}^{2})z$是关于$z$的奇函数，积分区域$l$关于$z=0$平面对称。因此，积分${\iint }_{Q}({x}^{2}+{y}^{2})zdv=0$。
步骤 3：计算三重积分
根据步骤2，${\iint }_{Q}({x}^{2}+{y}^{2})zdv=0$，所以${\iint }_{Q}[ ({x}^{2}+{y}^{2})z+3]dv=3{\iint }_{Q}dv=3V_Q=3\cdot\frac{4}{3}\pi R^3=4\pi R^3$。