设D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域: 则iint_(D)(3x+2y)dsigma=() A. (20)/(3)B. (16)/(3)C. (8)/(3)D. 3

为了求解二重积分 $\iint\limits_{D}(3x+2y)d\sigma$，其中 $D$ 是由两坐标轴及直线 $x+y=2$ 所围成的闭区域，我们可以按照以下步骤进行： 1. **确定积分区域 $D$**: - $D$ 是由 $x=0$，$y=0$ 和 $x+y=2$ 围成的三角形区域。 - 交点为 $(0,0)$，$(2,0)$ 和 $(0,2)$。 2. **将二重积分转换为累次积分**: - 我们可以先对 $y$ 积分，然后对 $x$ 积分。 - $x$ 的范围是 $0$ 到 $2$，对于每个 $x$， $y$ 的范围是 $0$ 到 $2-x$。 因此，二重积分可以写为： \[ \iint\limits_{D}(3x+2y)d\sigma = \int_{0}^{2} \int_{0}^{2-x} (3x + 2y) \, dy \, dx \] 3. **先对 $y$ 积分**: \[ \int_{0}^{2-x} (3x + 2y) \, dy \] - 将 $3x$ 看作常数，对 $y$ 积分： \[ \int_{0}^{2-x} 3x \, dy = 3x \int_{0}^{2-x} 1 \, dy = 3x (2-x) = 6x - 3x^2 \] - 对 $2y$ 积分： \[ \int_{0}^{2-x} 2y \, dy = 2 \int_{0}^{2-x} y \, dy = 2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{2-x} = (2-x)^2 = 4 - 4x + x^2 \] - 将两个结果相加： \[ \int_{0}^{2-x} (3x + 2y) \, dy = 6x - 3x^2 + 4 - 4x + x^2 = 2x - 2x^2 + 4 \] 4. **对 $x$ 积分**: \[ \int_{0}^{2} (2x - 2x^2 + 4) \, dx \] - 分别对每一项积分： \[ \int_{0}^{2} 2x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = 2 \left[ 2 - 0 \right] = 4 \] \[ \int_{0}^{2} -2x^2 \, dx = -2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = -2 \left[ \frac{8}{3} - 0 \right] = -\frac{16}{3} \] \[ \int_{0}^{2} 4 \, dx = 4 \left[ x \right]_{0}^{2} = 4 \left[ 2 - 0 \right] = 8 \] - 将三个结果相加： \[ \int_{0}^{2} (2x - 2x^2 + 4) \, dx = 4 - \frac{16}{3} + 8 = 12 - \frac{16}{3} = \frac{36}{3} - \frac{16}{3} = \frac{20}{3} \] 因此，二重积分 $\iint\limits_{D}(3x+2y)d\sigma$ 的值是 $\frac{20}{3}$。 答案是 $\boxed{A}$。