题目
PX A. 0.3B. 0.2C. 0.1D. 0.4
$P\{X < b\} = 0.8, \quad P\{X \ge a\} = 0.5,$ 其中 $a < b$, 则 $P\{a \le X < b\} = \_\_\_$
A. 0.3
B. 0.2
C. 0.1
D. 0.4
题目解答
答案
A. 0.3
解析
步骤 1：理解已知条件
已知条件为 $ P(X < b) = 0.8 $ 和 $ P(X \ge a) = 0.5 $，其中 $ a < b $。这意味着随机变量 $X$ 小于 $b$ 的概率为 $0.8$，而 $X$ 大于等于 $a$ 的概率为 $0.5$。
步骤 2：利用补集性质求得 $P(X \ge b)$
利用补集性质，可以求得 $X$ 大于等于 $b$ 的概率：\[ P(X \ge b) = 1 - P(X < b) = 1 - 0.8 = 0.2 \]
步骤 3：计算 $P(a \le X < b)$
所求概率 $P(a \le X < b)$ 可以表示为 $X$ 大于等于 $a$ 的概率减去 $X$ 大于等于 $b$ 的概率：\[ P(a \le X < b) = P(X \ge a) - P(X \ge b) = 0.5 - 0.2 = 0.3 \] 或者，也可以表示为 $X$ 小于 $b$ 的概率减去 $X$ 小于 $a$ 的概率：\[ P(a \le X < b) = P(X < b) - P(X < a) = 0.8 - (1 - 0.5) = 0.8 - 0.5 = 0.3 \] 两种方法结果一致，答案为 $0.3$。
已知条件为 $ P(X < b) = 0.8 $ 和 $ P(X \ge a) = 0.5 $，其中 $ a < b $。这意味着随机变量 $X$ 小于 $b$ 的概率为 $0.8$，而 $X$ 大于等于 $a$ 的概率为 $0.5$。
步骤 2：利用补集性质求得 $P(X \ge b)$
利用补集性质，可以求得 $X$ 大于等于 $b$ 的概率：\[ P(X \ge b) = 1 - P(X < b) = 1 - 0.8 = 0.2 \]
步骤 3：计算 $P(a \le X < b)$
所求概率 $P(a \le X < b)$ 可以表示为 $X$ 大于等于 $a$ 的概率减去 $X$ 大于等于 $b$ 的概率：\[ P(a \le X < b) = P(X \ge a) - P(X \ge b) = 0.5 - 0.2 = 0.3 \] 或者，也可以表示为 $X$ 小于 $b$ 的概率减去 $X$ 小于 $a$ 的概率：\[ P(a \le X < b) = P(X < b) - P(X < a) = 0.8 - (1 - 0.5) = 0.8 - 0.5 = 0.3 \] 两种方法结果一致，答案为 $0.3$。