题目

设函数 f(x) 具有一阶连续导数，且 f(0)=0，f'(0)=1，若 F(x)=} (f(x)+2sin x)/(x), & xneq0, A, & x=0 在点 x=0 处连续，则常数 A= ________。

设函数 $f(x)$ 具有一阶连续导数，且 $f(0)=0$，$f'(0)=1$，若 $F(x)=\begin{cases} \frac{f(x)+2\sin x}{x}, & x\neq0, \\ A, & x=0 \end{cases}$ 在点 $x=0$ 处连续，则常数 $A=$ ________。

题目解答

答案

我们已知函数 $ f(x) $ 具有一阶连续导数，且满足： - $ f(0) = 0 $ - $ f'(0) = 1 $ 定义函数： $$ F(x) = \begin{cases} \frac{f(x) + 2\sin x}{x}, & x \ne 0 \\ A, & x = 0 \end{cases} $$ 要求 $ F(x) $ 在 $ x = 0 $ 处连续，即： $$ \lim_{x \to 0} F(x) = F(0) = A $$ 所以我们需要计算极限： $$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 2\sin x}{x} $$ 将其拆开： $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{f(x)}{x} + \frac{2\sin x}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{2\sin x}{x} $$ 我们逐项计算。 --- **第一项：** $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} $ 由于 $ f(0) = 0 $，我们可以写成： $$ \frac{f(x)}{x} = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} $$ 根据导数的定义，这个极限就是 $ f'(0) $，已知 $ f'(0) = 1 $，所以： $$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1 $$ --- **第二项：** $ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin x}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 2 \cdot 1 = 2 $ --- 因此， $$ \lim_{x \to 0} F(x) = 1 + 2 = 3 $$ 为了使 $ F(x) $ 在 $ x = 0 $ 处连续，必须有： $$ A = \lim_{x \to 0} F(x) = 3 $$ --- **答案：** $ \boxed{3} $

解析

考查要点：本题主要考查函数连续性的定义及极限的计算，特别是利用导数的定义处理分式极限的问题。

解题核心思路：
要使分段函数$F(x)$在$x=0$处连续，需满足$\lim\limits_{x \to 0} F(x) = F(0) = A$。因此，关键在于计算$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x) + 2\sin x}{x}$的值，并将其结果赋给$A$。

破题关键点：

  1. 拆分极限：将分子拆分为$f(x)$和$2\sin x$两部分，分别计算各自的极限。
  2. 导数定义应用：利用$f(0)=0$，将$\frac{f(x)}{x}$转化为导数定义的形式，直接得出其极限为$f'(0)=1$。
  3. 标准极限公式：利用$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$简化计算。

步骤1：拆分极限表达式
将原极限拆分为两部分：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 2\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{f(x)}{x} + \frac{2\sin x}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{2\sin x}{x}.$

步骤2：计算第一项$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$
由$f(0)=0$，根据导数定义：
$\frac{f(x)}{x} = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \implies \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0) = 1.$

步骤3：计算第二项$\lim\limits_{x \to 0} \frac{2\sin x}{x}$
利用标准极限公式$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$：
$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin x}{x} = 2 \cdot 1 = 2.$

步骤4：合并结果
将两部分相加：
$\lim_{x \to 0} F(x) = 1 + 2 = 3.$

结论：
为使$F(x)$在$x=0$处连续，需满足$A = 3$。