1.设 (x)=sin x 是某个连续型随机变量X的概率密度函数,则它的取值范围-|||-是 () .-|||-(A) [ 0,dfrac (pi )(2)] (B)[0,π]-|||-(C) [ -dfrac (pi )(2),dfrac (pi )(2)] (D) [ pi ,dfrac (3pi )(2)]

关键知识点：概率密度函数的两个基本性质：

1. 非负性：$f(x) \geq 0$ 对所有$x$成立；
2. 归一性：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$。

解题核心思路：

• 确定$\sin x \geq 0$的区间；
• 验证该区间内$\int \sin x \, dx = 1$。

破题关键点：

• $\sin x$在$[0, \pi]$内非负，但积分结果为$2$，需缩小区间使积分等于$1$。

步骤1：分析$\sin x$的非负区间

$\sin x \geq 0$的区间为$[0, \pi]$，但需进一步验证积分是否为$1$。

步骤2：计算积分验证归一性

• 选项B：区间$[0, \pi]$的积分为：
  $\int_0^\pi \sin x \, dx = 2 \neq 1$
  不满足归一性。
• 选项A：区间$[0, \frac{\pi}{2}]$的积分为：
  $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = 1$
  满足归一性。

结论

唯一同时满足非负性和归一性的区间是$[0, \frac{\pi}{2}]$，即选项A。