题目
1-14 应用冲激信号的抽样特性,求下列表示式的函数值。-|||-(1) (int )_(-infty )^infty f(t-(t)_(0))delta (t)dt-|||-(2) (int )_(-infty )^infty f((t)_(0)-t)delta (t)dt-|||-(3) (int )_(-infty )^infty 8(t-(t)_(0))u(t-dfrac ({t)_(0)}(2))dt-|||-(4) (int )_(-infty )^infty 8(t-(t)_(0))u(t-2(t)_(0))dt-|||-(5) (int )_(-infty )^infty ((e)^-t+t)delta (t+2)dt-|||-(6) (int )_(-infty )^infty (t+sin t)delta (t-dfrac (pi )(6))dt-|||-(7) (int )_(-infty )^-infty (e)^-in7[ 8(t)-delta (t-(t)_(0))] dt
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解冲激信号的抽样特性
冲激信号 $\delta(t)$ 的抽样特性是：对于任意函数 $f(t)$，有 ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta(t-a)dt=f(a)$。这意味着冲激信号在 $t=a$ 处对函数 $f(t)$ 进行抽样，结果为 $f(a)$。
步骤 2：应用抽样特性求解各表达式的值
(1) ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t-{t}_{0})\delta (t)dt$
根据抽样特性，$t=0$ 时，$f(t-{t}_{0})=f(-{t}_{0})$，所以结果为 $f(-{t}_{0})$。
(2) ${\int }_{-\infty }^{\infty }f({t}_{0}-t)\delta (t)dt$
根据抽样特性，$t=0$ 时，$f({t}_{0}-t)=f({t}_{0})$，所以结果为 $f({t}_{0})$。
(3) ${\int }_{-\infty }^{\infty }8(t-{t}_{0})u(t-\dfrac {{t}_{0}}{2})dt$
根据抽样特性，$t={t}_{0}$ 时，$8(t-{t}_{0})=0$，$u(t-\dfrac {{t}_{0}}{2})=1$，所以结果为 $1$。
(4) ${\int }_{-\infty }^{\infty }8(t-{t}_{0})u(t-2{t}_{0})dt$
根据抽样特性，$t={t}_{0}$ 时，$8(t-{t}_{0})=0$，$u(t-2{t}_{0})=0$，所以结果为 $0$。
(5) ${\int }_{-\infty }^{\infty }({e}^{-t}+t)\delta (t+2)dt$
根据抽样特性，$t=-2$ 时，${e}^{-t}+t={e}^{2}-2$，所以结果为 ${e}^{2}-2$。
(6) ${\int }_{-\infty }^{\infty }(t+\sin t)\delta (t-\dfrac {\pi }{6})dt$
根据抽样特性，$t=\dfrac {\pi }{6}$ 时，$t+\sin t=\dfrac {\pi }{6}+\dfrac {1}{2}$，所以结果为 $\dfrac {\pi }{6}+\dfrac {1}{2}$。
(7) ${\int }_{-\infty }^{-\infty }{e}^{-in7}[ 8(t)-\delta (t-{t}_{0})] dt$
根据抽样特性，$t=0$ 时，${e}^{-in7}[ 8(t)-\delta (t-{t}_{0})] =1-{e}^{-j}{\log }_{0}$，所以结果为 $1-{e}^{-j}{\log }_{0}$。
冲激信号 $\delta(t)$ 的抽样特性是：对于任意函数 $f(t)$，有 ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta(t-a)dt=f(a)$。这意味着冲激信号在 $t=a$ 处对函数 $f(t)$ 进行抽样，结果为 $f(a)$。
步骤 2：应用抽样特性求解各表达式的值
(1) ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t-{t}_{0})\delta (t)dt$
根据抽样特性，$t=0$ 时，$f(t-{t}_{0})=f(-{t}_{0})$，所以结果为 $f(-{t}_{0})$。
(2) ${\int }_{-\infty }^{\infty }f({t}_{0}-t)\delta (t)dt$
根据抽样特性，$t=0$ 时，$f({t}_{0}-t)=f({t}_{0})$，所以结果为 $f({t}_{0})$。
(3) ${\int }_{-\infty }^{\infty }8(t-{t}_{0})u(t-\dfrac {{t}_{0}}{2})dt$
根据抽样特性，$t={t}_{0}$ 时，$8(t-{t}_{0})=0$，$u(t-\dfrac {{t}_{0}}{2})=1$，所以结果为 $1$。
(4) ${\int }_{-\infty }^{\infty }8(t-{t}_{0})u(t-2{t}_{0})dt$
根据抽样特性，$t={t}_{0}$ 时，$8(t-{t}_{0})=0$，$u(t-2{t}_{0})=0$，所以结果为 $0$。
(5) ${\int }_{-\infty }^{\infty }({e}^{-t}+t)\delta (t+2)dt$
根据抽样特性，$t=-2$ 时，${e}^{-t}+t={e}^{2}-2$，所以结果为 ${e}^{2}-2$。
(6) ${\int }_{-\infty }^{\infty }(t+\sin t)\delta (t-\dfrac {\pi }{6})dt$
根据抽样特性，$t=\dfrac {\pi }{6}$ 时，$t+\sin t=\dfrac {\pi }{6}+\dfrac {1}{2}$，所以结果为 $\dfrac {\pi }{6}+\dfrac {1}{2}$。
(7) ${\int }_{-\infty }^{-\infty }{e}^{-in7}[ 8(t)-\delta (t-{t}_{0})] dt$
根据抽样特性，$t=0$ 时，${e}^{-in7}[ 8(t)-\delta (t-{t}_{0})] =1-{e}^{-j}{\log }_{0}$，所以结果为 $1-{e}^{-j}{\log }_{0}$。