题目
9.求曲线 y=Ln2x.直线 x=1 与 x=5 及 x 轴所围成平面区域的面积
9.求曲线 y=Ln2x.直线 x=1 与 x=5 及 x 轴所围成平面区域的面积
题目解答
答案
[解析]5ln10-ln2-4
解析
步骤 1：确定积分区间
曲线 y=Ln2x 与直线 x=1 和 x=5 以及 x 轴所围成的平面区域的面积可以通过计算定积分来求得。积分区间为 [1, 5]。
步骤 2：写出定积分表达式
面积 A 可以表示为定积分 ∫[1,5] Ln2x dx。
步骤 3：计算定积分
为了计算定积分 ∫[1,5] Ln2x dx，我们首先需要找到 Ln2x 的原函数。使用分部积分法，设 u=Ln2x，dv=dx，则 du=(1/x)dx，v=x。根据分部积分公式，∫udv = uv - ∫vdu，我们有：
∫ Ln2x dx = xLn2x - ∫ x(1/x)dx = xLn2x - ∫ dx = xLn2x - x + C。
因此，定积分 ∫[1,5] Ln2x dx = [xLn2x - x] |[1,5] = (5Ln10 - 5) - (1Ln2 - 1) = 5Ln10 - 5 - Ln2 + 1 = 5ln10 - ln2 - 4。
曲线 y=Ln2x 与直线 x=1 和 x=5 以及 x 轴所围成的平面区域的面积可以通过计算定积分来求得。积分区间为 [1, 5]。
步骤 2：写出定积分表达式
面积 A 可以表示为定积分 ∫[1,5] Ln2x dx。
步骤 3：计算定积分
为了计算定积分 ∫[1,5] Ln2x dx，我们首先需要找到 Ln2x 的原函数。使用分部积分法，设 u=Ln2x，dv=dx，则 du=(1/x)dx，v=x。根据分部积分公式，∫udv = uv - ∫vdu，我们有：
∫ Ln2x dx = xLn2x - ∫ x(1/x)dx = xLn2x - ∫ dx = xLn2x - x + C。
因此，定积分 ∫[1,5] Ln2x dx = [xLn2x - x] |[1,5] = (5Ln10 - 5) - (1Ln2 - 1) = 5Ln10 - 5 - Ln2 + 1 = 5ln10 - ln2 - 4。