题目
6.设随机变量X的概率密度函数为f(x),则Y=X^3的概率密度为 (A.)f_(Y)(y)=(2)/(3)y^-(1)/(3)f(y^3),yneq0 (B.)f_(Y)(y)=(1)/(3)y^-(2)/(3)f(y^(1)/(3)),yneq0 (C.)f_(Y)(y)=(1)/(3)y^-(2)/(3)f(y^3),yneq0 (D.)f_(Y)(y)=(2)/(3)y^-(1)/(3)f(y^3),yneq0
6.设随机变量X的概率密度函数为f(x),则$Y=X^{3}$的概率密度为 (
A.)$f_{Y}(y)=\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}f(y^{3}),y\neq0$ (
B.)$f_{Y}(y)=\frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}}f(y^{\frac{1}{3}}),y\neq0$ (
C.)$f_{Y}(y)=\frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}}f(y^{3}),y\neq0$ (
D.)$f_{Y}(y)=\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}f(y^{3}),y\neq0$
A.)$f_{Y}(y)=\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}f(y^{3}),y\neq0$ (
B.)$f_{Y}(y)=\frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}}f(y^{\frac{1}{3}}),y\neq0$ (
C.)$f_{Y}(y)=\frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}}f(y^{3}),y\neq0$ (
D.)$f_{Y}(y)=\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}f(y^{3}),y\neq0$
题目解答
答案
为了找到随机变量 $ Y = X^3 $ 的概率密度函数 $ f_Y(y) $，已知 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，我们可以使用随机变量变换的方法。该方法涉及找到 $ Y $ 的累积分布函数（CDF），然后对它求导以得到概率密度函数（PDF）。
### 第1步：找到 $ Y $ 的累积分布函数（CDF）
$ Y $ 的CDF，记为 $ F_Y(y) $，定义为：
\[ F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^3 \leq y) \]
对于 $ y \geq 0 $：
\[ P(X^3 \leq y) = P(X \leq y^{1/3}) = F_X(y^{1/3}) \]
其中 $ F_X(x) $ 是 $ X $ 的CDF。
对于 $ y < 0 $：
\[ P(X^3 \leq y) = P(X \leq y^{1/3}) = F_X(y^{1/3}) \]
因为 $ y^{1/3} $ 对于 $ y < 0 $ 也是负数。
因此，$ Y $ 的CDF为：
\[ F_Y(y) = F_X(y^{1/3}) \]
### 第2步：对 $ F_Y(y) $ 求导以得到 $ f_Y(y) $
为了找到 $ Y $ 的PDF，我们对 $ F_Y(y) $ 关于 $ y $ 求导：
\[ f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} F_X(y^{1/3}) \]
使用链式法则，我们得到：
\[ f_Y(y) = f_X(y^{1/3}) \cdot \frac{d}{dy} (y^{1/3}) \]
$ y^{1/3} $ 关于 $ y $ 的导数为：
\[ \frac{d}{dy} (y^{1/3}) = \frac{1}{3} y^{-2/3} \]
因此：
\[ f_Y(y) = f_X(y^{1/3}) \cdot \frac{1}{3} y^{-2/3} \]
### 第3步：将 $ f_X(y^{1/3}) $ 替换为 $ f(y^{1/3}) $
由于 $ f_X(x) $ 是 $ X $ 的PDF，我们将其表示为 $ f(x) $。因此：
\[ f_Y(y) = \frac{1}{3} y^{-2/3} f(y^{1/3}) \]
### 结论
随机变量 $ Y = X^3 $ 的概率密度函数为：
\[ f_Y(y) = \frac{1}{3} y^{-2/3} f(y^{1/3}) \]
因此，正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
考查要点：本题主要考查随机变量函数的概率密度求解方法，涉及分布函数法和链式法则求导的应用。
解题核心思路：
- 确定关系：通过定义写出 $Y = X^3$ 的累积分布函数（CDF）$F_Y(y)$，将其转化为关于 $X$ 的概率表达式。
- 求导转换：对 $F_Y(y)$ 关于 $y$ 求导，利用链式法则将导数转换为 $X$ 的概率密度函数形式。
- 代数化简：结合变量替换和导数计算，得到最终的 $f_Y(y)$ 表达式。
破题关键点：
- 变量替换：明确 $Y = X^3$ 对应的反函数 $X = Y^{1/3}$，并正确处理导数中的幂次变换。
- 符号处理：三次根号函数在实数范围内对正负数均适用，无需额外分情况讨论。
步骤1：求累积分布函数 $F_Y(y)$
根据定义：
$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^3 \leq y) = P\left(X \leq y^{1/3}\right) = F_X\left(y^{1/3}\right)$
其中 $F_X(x)$ 是 $X$ 的累积分布函数。
步骤2：对 $F_Y(y)$ 求导
概率密度函数 $f_Y(y)$ 是 $F_Y(y)$ 的导数：
$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} F_X\left(y^{1/3}\right)$
利用链式法则：
$f_Y(y) = f_X\left(y^{1/3}\right) \cdot \frac{d}{dy} \left(y^{1/3}\right)$
步骤3：计算导数并化简
导数 $\frac{d}{dy} \left(y^{1/3}\right) = \frac{1}{3} y^{-2/3}$，代入得：
$f_Y(y) = f_X\left(y^{1/3}\right) \cdot \frac{1}{3} y^{-2/3}$
由于 $f_X(x) = f(x)$，最终表达式为：
$f_Y(y) = \frac{1}{3} y^{-2/3} f\left(y^{1/3}\right), \quad y \neq 0$
选项匹配
对比选项，B 符合推导结果。