题目
(2)int_(L)(x+y)ds，其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段；
(2)$\int_{L}(x+y)ds$，其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段；
题目解答
答案
为了求解曲线积分 $\int_{L}(x+y)ds$，其中 $L$ 是连接点 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 的直线段，我们可以按照以下步骤进行：
1. **参数化直线段 $L$:**
直线段 $L$ 可以用参数方程表示。设参数为 $t$，其中 $0 \leq t \leq 1$。当 $t=0$ 时，对应点 $(1,0)$；当 $t=1$ 时，对应点 $(0,1)$。因此，可以将直线段参数化为：
\[
x = 1 - t, \quad y = t
\]
2. **计算 $ds$:**
$ds$ 是弧长微分，对于参数曲线 $x = x(t)$ 和 $y = y(t)$，有：
\[
ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt
\]
这里，$\frac{dx}{dt} = -1$ 和 $\frac{dy}{dt} = 1$，所以：
\[
ds = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} \, dt = \sqrt{2} \, dt
\]
3. **将被积函数用 $t$ 表示:**
被积函数 $x + y$ 用 $t$ 表示为：
\[
x + y = (1 - t) + t = 1
\]
4. **代入曲线积分:**
将 $x + y = 1$ 和 $ds = \sqrt{2} \, dt$ 代入曲线积分，得到：
\[
\int_{L} (x + y) \, ds = \int_{0}^{1} 1 \cdot \sqrt{2} \, dt = \int_{0}^{1} \sqrt{2} \, dt
\]
5. **计算定积分:**
定积分 $\int_{0}^{1} \sqrt{2} \, dt$ 的值为：
\[
\sqrt{2} \int_{0}^{1} dt = \sqrt{2} \left[ t \right]_{0}^{1} = \sqrt{2} (1 - 0) = \sqrt{2}
\]
因此，曲线积分 $\int_{L}(x+y)ds$ 的值为 $\boxed{\sqrt{2}}$。
解析
步骤 1：参数化直线段 $L$
直线段 $L$ 可以用参数方程表示。设参数为 $t$，其中 $0 \leq t \leq 1$。当 $t=0$ 时，对应点 $(1,0)$；当 $t=1$ 时，对应点 $(0,1)$。因此，可以将直线段参数化为：
\[ x = 1 - t, \quad y = t \]
步骤 2：计算 $ds$
$ds$ 是弧长微分，对于参数曲线 $x = x(t)$ 和 $y = y(t)$，有：
\[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt \]
这里，$\frac{dx}{dt} = -1$ 和 $\frac{dy}{dt} = 1$，所以：
\[ ds = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} \, dt = \sqrt{2} \, dt \]
步骤 3：将被积函数用 $t$ 表示
被积函数 $x + y$ 用 $t$ 表示为：
\[ x + y = (1 - t) + t = 1 \]
步骤 4：代入曲线积分
将 $x + y = 1$ 和 $ds = \sqrt{2} \, dt$ 代入曲线积分，得到：
\[ \int_{L} (x + y) \, ds = \int_{0}^{1} 1 \cdot \sqrt{2} \, dt = \int_{0}^{1} \sqrt{2} \, dt \]
步骤 5：计算定积分
定积分 $\int_{0}^{1} \sqrt{2} \, dt$ 的值为：
\[ \sqrt{2} \int_{0}^{1} dt = \sqrt{2} \left[ t \right]_{0}^{1} = \sqrt{2} (1 - 0) = \sqrt{2} \]
直线段 $L$ 可以用参数方程表示。设参数为 $t$，其中 $0 \leq t \leq 1$。当 $t=0$ 时，对应点 $(1,0)$；当 $t=1$ 时，对应点 $(0,1)$。因此，可以将直线段参数化为：
\[ x = 1 - t, \quad y = t \]
步骤 2：计算 $ds$
$ds$ 是弧长微分，对于参数曲线 $x = x(t)$ 和 $y = y(t)$，有：
\[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt \]
这里，$\frac{dx}{dt} = -1$ 和 $\frac{dy}{dt} = 1$，所以：
\[ ds = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} \, dt = \sqrt{2} \, dt \]
步骤 3：将被积函数用 $t$ 表示
被积函数 $x + y$ 用 $t$ 表示为：
\[ x + y = (1 - t) + t = 1 \]
步骤 4：代入曲线积分
将 $x + y = 1$ 和 $ds = \sqrt{2} \, dt$ 代入曲线积分，得到：
\[ \int_{L} (x + y) \, ds = \int_{0}^{1} 1 \cdot \sqrt{2} \, dt = \int_{0}^{1} \sqrt{2} \, dt \]
步骤 5：计算定积分
定积分 $\int_{0}^{1} \sqrt{2} \, dt$ 的值为：
\[ \sqrt{2} \int_{0}^{1} dt = \sqrt{2} \left[ t \right]_{0}^{1} = \sqrt{2} (1 - 0) = \sqrt{2} \]