题目
函数 f(x, y)= } (x y)/(x^2 + y^2), & x^2 + y^2 neq 0 0, & x^2 + y^2 = 0 在点 (0, 0) 处（）A. 连续且偏导数存在；B. 连续且偏导数不存在；C. 不连续且偏导数不存在；D. 不连续且偏导数存在。
函数 $f(x, y)= \begin{cases} \frac{x y}{x^2 + y^2}, & x^2 + y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2 + y^2 = 0 \end{cases}$ 在点 $(0, 0)$ 处（）
A. 连续且偏导数存在；
B. 连续且偏导数不存在；
C. 不连续且偏导数不存在；
D. 不连续且偏导数存在。
题目解答
答案
D. 不连续且偏导数存在。
解析
步骤 1：判断函数在点 $(0, 0)$ 处的连续性
沿直线 $y = kx$ 趋近 $(0,0)$，有
\[ f(x, kx) = \frac{kx^2}{x^2(1+k^2)} = \frac{k}{1+k^2}, \]
极限值依赖于 $k$，故极限不存在，函数在 $(0,0)$ 处不连续。
步骤 2：计算偏导数
\[ f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x, 0) - f(0,0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0 - 0}{\Delta x} = 0, \]
同理，
\[ f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0, \Delta y) - f(0,0)}{\Delta y} = 0. \]
偏导数均存在且为 $0$。
沿直线 $y = kx$ 趋近 $(0,0)$，有
\[ f(x, kx) = \frac{kx^2}{x^2(1+k^2)} = \frac{k}{1+k^2}, \]
极限值依赖于 $k$，故极限不存在，函数在 $(0,0)$ 处不连续。
步骤 2：计算偏导数
\[ f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x, 0) - f(0,0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0 - 0}{\Delta x} = 0, \]
同理，
\[ f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0, \Delta y) - f(0,0)}{\Delta y} = 0. \]
偏导数均存在且为 $0$。