题目
12.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积:-|||-(1) =6-(x)^2-(y)^2 及 =sqrt ({x)^2+(y)^2} ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定立体的边界
由 $z=6-{x}^{2}-{y}^{2}$ 和 $z=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$ 消去z,解得 $\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}=2$ ,即Ω在xOy面上的投影区域Dxy为 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$ 。
步骤 2：确定积分区域
于是，立体的体积可以表示为 $\Omega =|(x,y,z)|\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}\leqslant z\leqslant 6-({x}^{2}+{y}^{2})$ ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$ 。
步骤 3：计算三重积分
利用直角坐标计算，体积 $V$ 可以表示为 $V=\iiint_{\Omega} dv$。将积分区域转换为极坐标，得到 $V=\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{2} (6-\rho^2-\rho) \rho d\rho$。
步骤 4：计算积分
计算积分得到 $V=2\pi \int_{0}^{2} (6\rho-\rho^3-\rho^2) d\rho$。计算积分结果得到 $V=2\pi \left[3\rho^2-\frac{\rho^4}{4}-\frac{\rho^3}{3}\right]_{0}^{2} = 2\pi \left(12-4-\frac{8}{3}\right) = \frac{32}{3}\pi$。
由 $z=6-{x}^{2}-{y}^{2}$ 和 $z=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$ 消去z,解得 $\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}=2$ ,即Ω在xOy面上的投影区域Dxy为 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$ 。
步骤 2：确定积分区域
于是，立体的体积可以表示为 $\Omega =|(x,y,z)|\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}\leqslant z\leqslant 6-({x}^{2}+{y}^{2})$ ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$ 。
步骤 3：计算三重积分
利用直角坐标计算，体积 $V$ 可以表示为 $V=\iiint_{\Omega} dv$。将积分区域转换为极坐标，得到 $V=\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{2} (6-\rho^2-\rho) \rho d\rho$。
步骤 4：计算积分
计算积分得到 $V=2\pi \int_{0}^{2} (6\rho-\rho^3-\rho^2) d\rho$。计算积分结果得到 $V=2\pi \left[3\rho^2-\frac{\rho^4}{4}-\frac{\rho^3}{3}\right]_{0}^{2} = 2\pi \left(12-4-\frac{8}{3}\right) = \frac{32}{3}\pi$。