摆线 } x = t - sin t y = 1 - cos t 的一拱 (0 leq t leq 2pi) 与 x 轴所围图形的面积为 ______.

我们要求的是**摆线的一拱与 $x$ 轴所围图形的面积**。 --- ### **1. 题目回顾** 摆线的参数方程为： $$ \begin{cases} x = t - \sin t \\ y = 1 - \cos t \end{cases} \quad \text{其中 } t \in [0, 2\pi] $$ 我们要计算的是：**由摆线的一拱（即 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$）与 $x$ 轴围成的图形的面积**。 --- ### **2. 参数方程下面积的公式** 对于由参数方程定义的曲线： $$ x = x(t),\quad y = y(t),\quad t \in [a, b] $$ 如果曲线从 $t = a$ 到 $t = b$ 是**连续、光滑、不自交**的，并且 $y(t) \geq 0$，那么它与 $x$ 轴围成的面积为： $$ A = \int_a^b y(t) \cdot \frac{dx}{dt} \, dt $$ --- ### **3. 应用到本题** 我们有： - $x(t) = t - \sin t \Rightarrow \frac{dx}{dt} = 1 - \cos t$ - $y(t) = 1 - \cos t$ 所以面积为： $$ A = \int_0^{2\pi} y(t) \cdot \frac{dx}{dt} \, dt = \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)(1 - \cos t) \, dt = \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^2 \, dt $$ --- ### **4. 计算积分** 我们来计算： $$ A = \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^2 \, dt $$ 展开平方： $$ (1 - \cos t)^2 = 1 - 2\cos t + \cos^2 t $$ 所以： $$ A = \int_0^{2\pi} (1 - 2\cos t + \cos^2 t) \, dt = \int_0^{2\pi} 1 \, dt - 2\int_0^{2\pi} \cos t \, dt + \int_0^{2\pi} \cos^2 t \, dt $$ 分别计算： - $\int_0^{2\pi} 1 \, dt = 2\pi$ - $\int_0^{2\pi} \cos t \, dt = 0$ - $\int_0^{2\pi} \cos^2 t \, dt$：使用公式 $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$ $$ \int_0^{2\pi} \cos^2 t \, dt = \int_0^{2\pi} \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} 1 \, dt + \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \cos 2t \, dt = \frac{1}{2} \cdot 2\pi + 0 = \pi $$ 所以总面积为： $$ A = 2\pi - 0 + \pi = 3\pi $$ --- ### **5. 最终答案** $$ \boxed{3\pi} $$ 这是摆线的一拱与 $x$ 轴所围图形的面积。