题目
38.(应用题，2.4分)计算二重积分iintlimits_(D)(x-y)dx dy，其中D是由直线y=x、y=2x及x=1所围成的闭区域.我的答案：
38.(应用题，2.4分)
计算二重积分$\iint\limits_{D}(x-y)dx dy$，其中D是由直线y=x、y=2x及x=1所围成的闭区域.
我的答案：
题目解答
答案
将积分区域 $D$ 描述为 $0 \leq x \leq 1$，$x \leq y \leq 2x$。
计算内积分：
\[
\int_{x}^{2x} (x-y) \, dy = x^2 - \frac{3x^2}{2} = -\frac{x^2}{2}.
\]
计算外积分：
\[
\int_{0}^{1} -\frac{x^2}{2} \, dx = -\frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^2 \, dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{6}.
\]
**答案：**
\[
\boxed{-\frac{1}{6}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查二重积分的计算，涉及积分区域的确定和分次积分法的应用。
解题核心思路：
- 确定积分区域：通过分析直线方程，明确区域D的形状，选择合适的积分顺序。
- 分次积分：先对y积分再对x积分，或反之，需根据区域形状选择更简便的方式。
- 计算内积分与外积分：逐层计算，注意积分变量的上下限。
破题关键点：
- 积分区域的描述：正确写出x和y的范围，避免上下限错误。
- 符号处理：积分过程中注意符号变化，尤其是内积分结果为负数时。
积分区域分析
区域D由直线$y=x$、$y=2x$和$x=1$围成，形状为闭合三角形。
- x的范围：从$0$到$1$（由$x=1$和原点确定）。
- y的范围：对每个$x$，$y$从$y=x$到$y=2x$。
积分顺序选择
选择先对$y$积分，再对$x$积分，因为每个$x$对应的$y$上下限明确。
内积分计算
对$y$积分：
$\int_{x}^{2x} (x-y) \, dy = \left[ x y - \frac{1}{2} y^2 \right]_{x}^{2x} = \left( 2x^2 - 2x^2 \right) - \left( x^2 - \frac{1}{2}x^2 \right) = -\frac{1}{2}x^2.$
外积分计算
对$x$积分：
$\int_{0}^{1} -\frac{1}{2}x^2 \, dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{1} = -\frac{1}{6}.$