设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%，35%，20%，各厂的产品的次品率分别为4%，2%，5%，现从中任取一件.(1)求取到的是次品的概率；(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率.

【答案】

$\left(1\right)3.5\%$;$\left(2\right)\dfrac{18}{35}$.

【解析】

由题,记事件${A}_{1}=$"该产品为甲厂生产的",

事件${A}_{2}=$"该产品为乙厂生产的",

事件${A}_{3}=$"该产品为丙厂生产的",

事件$B=$"该产品是次品".

则$\Omega ={A}_{1}\cup {A}_{2}\cup {A}_{3}$,且${A}_{1}$,${A}_{2}$,${A}_{3}$两两互斥,

由题设知：

$P\left({A}_{1}\right)=45\%$,

$P\left({A}_{2}\right)=35\%$,

$P\left({A}_{3}\right)=20\%$,

$P\left(B|{A}_{1}\right)=4\%$,

$P\left(B|{A}_{2}\right)=2\%$,

$P\left(B\right|{A}_{3})=5\%$.

$\left(1\right)$由题,$P\left(B\right)=\sum\limits _{i=1}^{3}P\left({A}_{i}\right)$$P(B\mid {A}_{i})=45\%\times 4\%+35\%\times 2\%+20\%\times 5\%=3.5\%$.

$\left(2\right)$由题,$P\left({A}_{1}|B\right)=\dfrac{P\left({A}_{1}B\right)}{P\left(B\right)}$$=\dfrac{P\left({A}_{1}\right)P\left(B\mid {A}_{1}\right)}{P\left(B\right)}$$=\dfrac{18}{35}$.