【例22】(2009,数三) lim _(x arrow 0) (e-e^cos x)/(sqrt[3](1+x^2)-1)=_.

当 $x \to 0$ 时，利用等价无穷小替换： 1. 分子 $e - e^{\cos x} \sim e(1 - \cos x) \sim e \cdot \frac{x^2}{2}$（因 $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$）。 2. 分母 $\sqrt[3]{1 + x^2} - 1 \sim \frac{x^2}{3}$（泰勒展开）。 代入极限得： $\lim_{x \to 0} \frac{e - e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1 + x^2} - 1} \sim \lim_{x \to 0} \frac{\frac{ex^2}{2}}{\frac{x^2}{3}} = \frac{3e}{2}.$ 或使用洛必达法则，分子导数为 $e^{\cos x} \sin x$，分母导数为 $\frac{2x}{3(1 + x^2)^{2/3}}$，极限结果仍为 $\frac{3e}{2}$。 答案： $\boxed{\frac{3e}{2}}$