注 类似地，已知函数f(x,y)满足df(x,y)=(xdy-ydx)/(x^2)+y^(2)，f(1,1)=(pi)/(4)，则f(sqrt(3),3)=__.

考查要点：本题主要考查全微分方程的求解，以及利用已知条件确定函数的具体表达式。关键在于识别出给定的微分形式对应于某个已知函数的全微分。

解题思路：

1. 识别全微分形式：将给定的微分表达式分解为$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$的形式。
2. 猜测原函数：通过观察分母$x^2 + y^2$和分子结构，联想到$\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$的偏导数形式。
3. 验证偏导数：计算猜测函数的偏导数，确认是否与题目给出的微分一致。
4. 确定常数项：利用初始条件$f(1,1) = \frac{\pi}{4}$确定函数中的常数项。
5. 代入求值：将目标点$(\sqrt{3}, 3)$代入最终函数表达式。

破题关键：识别出$\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$的全微分形式与题目一致，并正确应用初始条件确定常数。

步骤1：分解全微分表达式

将题目给出的全微分表达式分解为偏导数形式：
$df = \frac{x \, dy - y \, dx}{x^2 + y^2} = \left( \frac{-y}{x^2 + y^2} \right) dx + \left( \frac{x}{x^2 + y^2} \right) dy.$
因此，偏导数为：
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{-y}{x^2 + y^2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2}.$

步骤2：猜测原函数

观察分母$x^2 + y^2$和分子结构，联想到$\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$的偏导数：

• 对$x$求偏导：
  $\frac{\partial}{\partial x} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \left( -\frac{y}{x^2} \right) = \frac{-y}{x^2 + y^2}.$
• 对$y$求偏导：
  $\frac{\partial}{\partial y} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x^2 + y^2}.$
  因此，原函数可设为：
  $f(x, y) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + C.$

步骤3：确定常数$C$

利用初始条件$f(1, 1) = \frac{\pi}{4}$：
$\arctan\left(\frac{1}{1}\right) + C = \frac{\pi}{4} \implies \frac{\pi}{4} + C = \frac{\pi}{4} \implies C = 0.$
因此，函数为：
$f(x, y) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right).$

步骤4：代入目标点

计算$f(\sqrt{3}, 3)$：
$f(\sqrt{3}, 3) = \arctan\left(\frac{3}{\sqrt{3}}\right) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}.$