题目
级数 ln x + ln^2 x + ... + ln^n x + ... 的收敛域是().A. x > eB. (1)/(e) leq x leq eC. x D. (1)/(e)
级数 $\ln x + \ln^2 x + \cdots + \ln^n x + \cdots$ 的收敛域是().
A. $x > e$
B. $\frac{1}{e} \leq x \leq e$
C. $x < e$
D. $\frac{1}{e} < x < e$
题目解答
答案
D. $\frac{1}{e} < x < e$
解析
步骤 1：将级数表示为几何级数
级数 $\ln x + \ln^2 x + \cdots + \ln^n x + \cdots$ 可以表示为 $\sum_{n=1}^{\infty} (\ln x)^n$，这是一个首项为 $\ln x$、公比为 $\ln x$ 的几何级数。
步骤 2：几何级数收敛的条件
几何级数收敛的条件是 $|r| < 1$，其中 $r$ 是公比。因此，对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (\ln x)^n$，收敛的条件是 $|\ln x| < 1$。
步骤 3：解不等式
解不等式 $|\ln x| < 1$，得到 $-1 < \ln x < 1$。对不等式两边同时取指数，得到 $e^{-1} < x < e^1$，即 $\frac{1}{e} < x < e$。
步骤 4：验证边界值
当 $x = e$ 或 $x = \frac{1}{e}$ 时，级数分别变为 $1 + 1 + 1 + \cdots$ 或 $-1 + 1 - 1 + \cdots$，均发散。因此，收敛域为 $\frac{1}{e} < x < e$。
级数 $\ln x + \ln^2 x + \cdots + \ln^n x + \cdots$ 可以表示为 $\sum_{n=1}^{\infty} (\ln x)^n$，这是一个首项为 $\ln x$、公比为 $\ln x$ 的几何级数。
步骤 2：几何级数收敛的条件
几何级数收敛的条件是 $|r| < 1$，其中 $r$ 是公比。因此，对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (\ln x)^n$，收敛的条件是 $|\ln x| < 1$。
步骤 3：解不等式
解不等式 $|\ln x| < 1$，得到 $-1 < \ln x < 1$。对不等式两边同时取指数，得到 $e^{-1} < x < e^1$，即 $\frac{1}{e} < x < e$。
步骤 4：验证边界值
当 $x = e$ 或 $x = \frac{1}{e}$ 时，级数分别变为 $1 + 1 + 1 + \cdots$ 或 $-1 + 1 - 1 + \cdots$，均发散。因此，收敛域为 $\frac{1}{e} < x < e$。