5-10 一半径为R的半球壳,均匀地带有电荷,电荷面密度为σ.求球心处电场强度的-|||-大小.

考查要点：本题主要考查带电球壳在球心处的电场强度计算，重点在于利用对称性简化积分过程。

解题核心思路：

1. 对称性分析：半球壳的电荷分布具有轴对称性，导致球心处的场强仅沿半球的对称轴（z轴）方向，水平分量相互抵消。
2. 微元法与积分：将半球壳分为无数环形电荷带，计算每个带电元在球心处的场强z分量，再积分所有分量。

破题关键点：

• 分解场强：每个电荷元的场强分解为z分量和水平分量，水平分量因对称性抵消，只需计算z分量。
• 积分简化：利用球坐标系，将半球壳的面积元素表示为$R^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi$，并对$\phi$和$\theta$分别积分。

步骤1：建立坐标系与对称性分析

设半球壳的平面为$xy$平面，球心在原点，半球位于$z \geq 0$区域。
对称性：

• 水平分量（$x$、$y$方向）因对称性相互抵消，总场强仅沿$z$轴方向。
• 仅需计算所有电荷元在$z$方向的场强分量之和。

步骤2：微元法与场强分量

取半球壳上面积元素$dA = R^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi$，电荷量为$\sigma \, dA$。
该电荷元在球心处的场强大小为：
$dE = \frac{\sigma \, dA}{4\pi \varepsilon_0 R^2} = \frac{\sigma \sin\theta \, d\theta \, d\phi}{4\pi \varepsilon_0}$
z分量：
$dE_z = dE \cdot \cos\theta = \frac{\sigma \sin\theta \cos\theta \, d\theta \, d\phi}{4\pi \varepsilon_0}$

步骤3：积分求总场强

总场强为所有$dE_z$的积分：
$E = \int dE_z = \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \cos\theta \, d\theta \, d\phi$
积分计算：

1. 对$\phi$积分：$\int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi$。
2. 对$\theta$积分：令$u = \sin\theta$，则$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \cos\theta \, d\theta = \int_{0}^{1} u \, du = \frac{1}{2}$。
   最终结果：
   $E = \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0} \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sigma}{4\varepsilon_0}$