题目

4.（12.0分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,3cosC+(1)/(2)c=b.a=3,点D在边AC上,且overrightarrow(BD)=(1)/(3)overrightarrow(BA)+(2)/(3)overrightarrow(BC).（简答题6.0分）求A

4.（12.0分） △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,3cosC+$\frac{1}{2}$c=b.a=3,点D在边AC上,且$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$. （简答题6.0分）求A

题目解答

答案

为了求解角 $ A $ 的值，我们首先利用给定的条件和三角恒等式进行推导。 1. **使用余弦定理和给定条件：** 给定条件为 $ 3 \cos C + \frac{1}{2} c = b $ 和 $ a = 3 $。根据余弦定理，我们有 $ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} $。将 $ a = 3 $ 代入，得到 $ \cos C = \frac{9 + b^2 - c^2}{6b} $。将此代入给定条件，得到： \[ 3 \left( \frac{9 + b^2 - c^2}{6b} \right) + \frac{1}{2} c = b \] 简化上式，得到： \[ \frac{9 + b^2 - c^2}{2b} + \frac{1}{2} c = b \] 两边乘以 $ 2b $，得到： \[ 9 + b^2 - c^2 + bc = 2b^2 \] 整理得到： \[ 9 - c^2 + bc = b^2 \] 重新排列得到： \[ b^2 + c^2 - bc = 9 \] 由于 $ a^2 = 9 $，我们有： \[ b^2 + c^2 - bc = a^2 \] 根据余弦定理 $ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $，我们得到： \[ b^2 + c^2 - bc = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] 简化得到： \[ -bc = -2bc \cos A \] 两边除以 $ -bc $（假设 $ b $ 和 $ c $ 不为零），得到： \[ 1 = 2 \cos A \] 因此： \[ \cos A = \frac{1}{2} \] 由于 $ A $ 是三角形的内角，我们有： \[ A = \frac{\pi}{3} \] 2. **结论：** 角 $ A $ 的值为 $ \boxed{\frac{\pi}{3}} $。

解析

考查要点：本题主要考查余弦定理的应用及代数方程的变形能力。关键在于将已知条件与余弦定理结合，建立方程求解角A。

解题思路：

  1. 利用余弦定理表达cosC，代入题目给出的方程，得到关于边b和c的关系式。
  2. 联立余弦定理的表达式，通过比较方程消去边长变量，直接求解cosA的值。
  3. 根据余弦值确定角度，结合三角形内角范围得出最终结果。

步骤1：用余弦定理表达cosC

根据余弦定理，$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$。已知$a=3$，代入得：
$\cos C = \frac{9 + b^2 - c^2}{6b}$

步骤2：代入已知条件建立方程

题目给出$3\cos C + \frac{1}{2}c = b$，将$\cos C$的表达式代入：
$3 \cdot \frac{9 + b^2 - c^2}{6b} + \frac{1}{2}c = b$
化简得：
$\frac{9 + b^2 - c^2}{2b} + \frac{1}{2}c = b$

步骤3：消去分母并整理方程

两边同乘$2b$：
$9 + b^2 - c^2 + bc = 2b^2$
整理得：
$b^2 + c^2 - bc = 9$

步骤4：联立余弦定理求解角A

根据余弦定理，$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$，已知$a=3$，即：
$9 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
与步骤3的方程$b^2 + c^2 - bc = 9$联立，消去$b^2 + c^2$得：
$-bc = -2bc\cos A$
解得：
$\cos A = \frac{1}{2}$
因此，$A = \frac{\pi}{3}$。