题目

不知道可导性，求导数【例3】设函数f(x)在x=0处连续，且lim_(xto0)(xf(x)-e^2sin x+1)/(ln(1+x)+ln(1-x))=-3，证明：f(x)在x=0处可导，并求f'(0)

不知道可导性，求导数 【例3】设函数f(x)在x=0处连续，且$\lim_{x\to0}\frac{xf(x)-e^{2\sin x}+1}{\ln(1+x)+\ln(1-x)}=-3$，证明：f(x)在x=0处可导，并求f'(0)

题目解答

答案

将原极限条件化简： \[ \lim_{x \to 0} \frac{xf(x) - e^{2\sin x} + 1}{\ln(1-x^2)} = -3 \] 利用泰勒展开近似： \[ \ln(1-x^2) \approx -x^2, \quad e^{2\sin x} \approx 1 + 2x + 2x^2 \] 代入并化简： \[ \lim_{x \to 0} \frac{xf(x) - 2x - 2x^2}{x^2} = 3 \] 提取 $ x $ 并整理： \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 2 - 2x}{x} = 3 \] 由导数定义得： \[ f'(0) - 2 = 3 \quad \Rightarrow \quad f'(0) = 5 \] **答案：** \[ \boxed{5} \]

解析

考查要点：本题主要考查利用极限定义求导数，结合泰勒展开处理复杂表达式的能力，以及将已知极限条件转化为导数定义式的核心思路。

解题核心思路：

  1. 化简分母：将分母$\ln(1+x)+\ln(1-x)$合并为$\ln(1-x^2)$，并用泰勒展开近似为$-x^2$。
  2. 展开分子中的非线性项：对$e^{2\sin x}$进行泰勒展开，保留到二次项，简化分子表达式。
  3. 分离变量：将分子整理为关于$f(x)$的表达式，通过极限条件建立方程，最终转化为导数定义式。

破题关键点：

  • 泰勒展开的应用：正确展开$e^{2\sin x}$和$\ln(1-x^2)$，抓住主要项简化计算。
  • 极限与导数的关联：通过极限形式构造$f(x)$的线性近似，从而提取$f'(0)$。

步骤1：化简分母

将分母$\ln(1+x)+\ln(1-x)$合并为$\ln(1-x^2)$，当$x \to 0$时，利用泰勒展开：
$\ln(1-x^2) \approx -x^2 - \frac{x^4}{3} + o(x^4) \approx -x^2.$

步骤2：展开分子中的指数项

对$e^{2\sin x}$展开，保留到二次项：
$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}, \quad 2\sin x \approx 2x - \frac{x^3}{3},$
$e^{2\sin x} \approx 1 + (2x) + \frac{(2x)^2}{2} = 1 + 2x + 2x^2.$

步骤3：代入并整理分子

分子部分为：
$x f(x) - e^{2\sin x} + 1 \approx x f(x) - (1 + 2x + 2x^2) + 1 = x f(x) - 2x - 2x^2.$

步骤4：建立极限方程

原极限条件变为：
$\lim_{x \to 0} \frac{x f(x) - 2x - 2x^2}{-x^2} = -3.$
两边同乘$-x^2$得：
$x f(x) - 2x - 2x^2 = 3x^2 + o(x^2).$

步骤5：分离变量并求导数

整理得：
$x f(x) = 2x + 5x^2 + o(x^2),$
两边除以$x$（$x \neq 0$）：
$f(x) = 2 + 5x + o(x).$
根据导数定义：
$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(2 + 5x + o(x)) - 2}{x} = 5.$