定积分(int )_(0)^1dfrac (2)({e)^-x+5}dx=_____.

考查要点：本题主要考查定积分的计算技巧，特别是通过代数变形和变量替换简化积分表达式的能力。

解题核心思路：

1. 分母有理化：将分母中的指数函数通过代数变形转化为更易处理的形式。
2. 变量替换法：通过合理的变量代换，将积分转化为基本积分形式。
3. 对数积分公式：利用$\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C$直接求解。

破题关键点：

• 分子分母同乘$e^x$，将分母变为$1 + 5e^x$，使积分形式简化。
• 变量代换$u = 1 + 5e^x$，将积分转化为关于$u$的简单对数积分。

步骤1：分母有理化
原积分：
$\int_{0}^{1} \frac{2}{e^{-x} + 5} dx$
将分子分母同乘$e^x$，得：
$\int_{0}^{1} \frac{2e^x}{1 + 5e^x} dx$

步骤2：变量代换
令$u = 1 + 5e^x$，则$du = 5e^x dx$，即$e^x dx = \frac{du}{5}$。
积分变为：
$2 \int \frac{e^x}{1 + 5e^x} dx = 2 \cdot \frac{1}{5} \int \frac{1}{u} du = \frac{2}{5} \ln|u| + C$

步骤3：代入上下限
当$x = 1$时，$u = 1 + 5e^1 = 1 + 5e$；
当$x = 0$时，$u = 1 + 5e^0 = 6$。
因此，定积分结果为：
$\frac{2}{5} \left[ \ln(1 + 5e) - \ln 6 \right] = \frac{2}{5} \ln \left( \frac{1 + 5e}{6} \right)$