4. 知X=a,b,c,d，拓扑T=X,varnothing,{b}，A=a,c,d，求d(A)和overline(A).

### 问题解析 给定集合 $ X = \{a, b, c, d\} $ 和拓扑 $ T = \{X, \varnothing, \{b\}\} $，以及子集 $ A = \{a, c, d\} $。我们需要求解 $ d(A) $ 和 $ \overline{A} $。 1. **求 $ d(A) $（边界）**： - 边界 $ d(A) $ 定义为 $ \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} $，其中 $ \overline{A} $ 是 $ A $ 的闭包，$ X \setminus A $ 是 $ A $ 的补集。 - 首先，我们需要找到 $ A $ 的闭包 $ \overline{A} $ 和 $ X \setminus A $ 的闭包 $ \overline{X \setminus A} $。 2. **求 $ \overline{A} $（闭包）**： - 闭包 $ \overline{A} $ 是包含 $ A $ 的最小闭集。 - 闭集是拓扑空间中开集的补集。在拓扑 $ T $ 中，开集有 $ X, \varnothing, \{b\} $，因此闭集有 $ \varnothing, X, \{a, c, d\} $。 - $ A = \{a, c, d\} $ 本身是一个闭集，因此 $ \overline{A} = A = \{a, c, d\} $。 3. **求 $ X \setminus A $ 的闭包 $ \overline{X \setminus A} $ ： - $ X \setminus A = \{b\} $。 - $ \{b\} $ 本身是一个开集，因此它的补集 $ \{a, c, d\} $ 是一个闭集。 - 由于 $ \{b\} $ 已经是闭集，所以 $ \overline{X \setminus A} = \{b\} $。 4. **求 $ d(A) $ ： - $ d(A) = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} $。 - $ \overline{A} = \{a, c, d\} $。 - $ \overline{X \setminus A} = \{b\} $。 - $ \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} = \{a, c, d\} \cap \{b\} = \varnothing $。 ### 答案 - $ d(A) = \varnothing $ - $ \overline{A} = \{a, c, d\} $ ### 详细解析 1. **闭包 $ \overline{A} $ 的求解**： - $ A = \{a, c, d\} $。 - 闭集有 $ \varnothing, X, \{a, c, d\} $。 - $ A $ 本身是一个闭集，因此 $ \overline{A} = A = \{a, c, d\} $。 2. **闭包 $ \overline{X \setminus A} $ 的求解**： - $ X \setminus A = \{b\} $。 - 闭集有 $ \varnothing, X, \{a, c, d\} $。 - $ \{b\} $ 本身是一个开集，因此它的补集 $ \{a, c, d\} $ 是一个闭集。 - 由于 $ \{b\} $ 已经是闭集，所以 $ \overline{X \setminus A} = \{b\} $。 3. **边界 $ d(A) $ 的求解**： - $ d(A) = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} $。 - $ \overline{A} = \{a, c, d\} $。 - $ \overline{X \setminus A} = \{b\} $。 - $ \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} = \{a, c, d\} \cap \{b\} = \varnothing $。 因此，最终答案是： - $ d(A) = \varnothing $ - $ \overline{A} = \{a, c, d\} $