16.（10.0分）设一平面过点M_(0)（1，2，-1）且垂直于平面3x-4y+z+16=0和4x-z+6=0，试求这平面方程.

本题考查平面方程的求解，关键在于利用平面垂直的性质求出所求平面的法向量，再结合平面所过的点来确定平面方程。

1. 求所求平面的法向量：
   • 已知平面$3x - 4y + z + 16 = 0$的法向量为$\mathbf{n}_1 = (3, -4, 1)$，平面$4x - z + 6 = 0$的法向量为$\mathbf{n}_2 = (4, 0, -1)$。
   • 因为所求平面垂直于这两个已知平面，所以所求平面的法向量$\mathbf{n}$平行于$\mathbf{n}_1$与$\mathbf{n}_2$的向量积$\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2$。
   • 根据向量积的行列式计算方法，$\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -4 & 1 \\ 4 & 0 & -1 \end{vmatrix}$。
     • 计算行列式的值：
       • 对于三阶行列式$\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}=a_{1}\begin{vmatrix}b_{2}&c_{2}\\b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}-b_{1}\begin{vmatrix}a_{2}&c_{2}\\a_{3}&c_{3}\end{vmatrix}+c_{1}\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}$。
       • 则$\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -4 & 1 \\ 4 & 0 & -1 \end{vmatrix}=\mathbf{i}\begin{vmatrix}-4&1\\0&-1\end{vmatrix}-\mathbf{j}\begin{vmatrix}3&1\\4&-1\end{vmatrix}+\mathbf{k}\begin{vmatrix}3&-4\\4&0\end{vmatrix}$。
       • 计算二阶行列式：$\begin{vmatrix}-4&1\\0&-1\end{vmatrix}=(-4)\times(-1)-1\times0 = 4$；$\begin{vmatrix}3&1\\4&-1\end{vmatrix}=3\times(-1)-1\times4=-3 - 4=-7$；$\begin{vmatrix}3&-4\\4&0\end{vmatrix}=3\times0-(-4)\times4 = 16$。
       • 所以$\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = 4\mathbf{i}+7\mathbf{j}+16\mathbf{k}=(4, 7, 16)$，即$\mathbf{n} = (4, 7, 16)$。
2. 根据点法式方程求平面方程：
   • 已知所求平面过点$M_{0}(1, 2, -1)$，法向量为$\mathbf{n} = (4, 7, 16)$。
   • 由平面的点法式方程$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$（其中$(x_0,y_0,z_0)$为平面上一点，$(A,B,C)$为平面的法向量）可得：
     • $4(x - 1) + 7(y - 2) + 16(z + 1) = 0$。
3. 化简平面方程：
   • 展开上式得$4x - 4 + 7y - 14 + 16z + 16 = 0$。
   • 合并同类项得$4x + 7y + 16z - 2 = 0$，移项可得$4x + 7y + 16z = 2$。