31.单选题 [单选题]椭圆x^2+4y^2=4在点(1,(sqrt(3))/(2))处的切线的斜率为()。(2102) A -(sqrt(3))/(6) B -1 C (sqrt(3))/(6) D 1

为了求出椭圆 $x^2 + 4y^2 = 4$ 在点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 处的切线的斜率，我们可以使用隐函数求导法。下面将逐步进行解答。 1. 对椭圆方程进行隐函数求导： 椭圆方程为 $x^2 + 4y^2 = 4$。对两边关于 $x$ 求导，得到： $\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(4y^2) = \frac{d}{dx}(4)$ $2x + 8y \frac{dy}{dx} = 0$ 解出 $\frac{dy}{dx}$，得到： $8y \frac{dy}{dx} = -2x$ $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{8y} = -\frac{x}{4y}$ 2. 将点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 代入导数表达式： 点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 处的切线斜率 $k$ 为： $k = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, \frac{\sqrt{3}}{2})} = -\frac{1}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{6}$ Therefore, the answer is $\boxed{A}$.