题目
L: x^2 + y^2 = 1的一周（逆时针方向），int_(L) (2x - y)dx + (2y + x)dy = ( )A. piB. -piC. 2piD. -2pi
L: $x^2 + y^2 = 1$的一周（逆时针方向），$\int_{L} (2x - y)dx + (2y + x)dy = (\quad)$
A. $\pi$
B. $-\pi$
C. $2\pi$
D. $-2\pi$
题目解答
答案
C. $2\pi$
解析
步骤 1：定义 $P$ 和 $Q$
设 $P = 2x - y$，$Q = 2y + x$，这是给定的向量场的分量。
步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$，得到 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -1. \]
步骤 3：应用格林公式
根据格林公式，将线积分转换为面积积分，得到 \[ \oint_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA = \iint_{D} 2 \, dA. \]
步骤 4：计算面积积分
单位圆的面积 $A = \pi$，因此 \[ \iint_{D} 2 \, dA = 2\pi. \]
设 $P = 2x - y$，$Q = 2y + x$，这是给定的向量场的分量。
步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$，得到 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -1. \]
步骤 3：应用格林公式
根据格林公式，将线积分转换为面积积分，得到 \[ \oint_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA = \iint_{D} 2 \, dA. \]
步骤 4：计算面积积分
单位圆的面积 $A = \pi$，因此 \[ \iint_{D} 2 \, dA = 2\pi. \]