题目

口袋中有1个白球,1个黑球.从中任取1个,若取出白球,则试验停止;若取出黑球,则把取出的黑球放回的同时,再加入1个黑球,如此下去,直到取出的是白球为止,则事件取到第20次,试验恰好结束的概率为( ).A. ;B .;C . ;D .;

口袋中有1个白球,1个黑球.从中任取1个,若取出白球,则试验停止;若取出黑球,则把取出的黑球放回的同时,再加入1个黑球,如此下去,直到取出的是白球为止,则事件取到第20次,试验恰好结束的概率为( ).

A. $\frac{1}{21}$ ;

B . $\frac{1}{420}$ ;

C . $\frac{20}{21}$ ;

D . $\frac{419}{420}$ ;

题目解答

答案

1. 第一次取球

第一次取球有两种可能，取到白球的概率为 $\frac{1}{2}$ ，取到黑球的概率为 $\frac{1}{2}$ 。

2. 第二次取球

如果第一次取到黑球，第二次取球时口袋中有 1 个白球和 2 个黑球，取到白球的概率为 $\frac{1}{3}$ ，取到黑球的概率为 $\frac{2}{3}$ 。

3. 第三次取球

如果前两次都取到黑球，第三次取球时口袋中有 1 个白球和 3 个黑球，取到白球的概率为 $\frac{1}{4}$ ，取到黑球的概率为 $\frac{3}{4}$ 。

4. 以此类推

直到第 20 次取球，如果前面 19 次都取到黑球，第 20 次取球时口袋中有 1 个白球和 20 个黑球，取到白球的概率为 $\frac{1}{21}$ 。

5. 计算概率

因为每次取球的结果相互独立，所以事件取到第 20 次试验恰好结束的概率为前 19 次都取到黑球，第 20 次取到白球的概率，即 $\left(\frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{2}{3}\right)\times\left(\frac{3}{4}\right)\times\cdots\left(\frac{19}{20}\right)\times\left(\frac{1}{21}\right)$

得到 $\left(\frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{2}{3}\right)\times\left(\frac{3}{4}\right)\times\cdots\left(\frac{19}{20}\right)\times\left(\frac{1}{21}\right)=\frac{1}{21}$

综上所述，事件取到第 20 次，试验恰好结束的概率为 $\frac{1}{21}$ ，故本题的答案是A选项。