题目
31. int dfrac (1)({x)^2}sin dfrac (3)(x)dx= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：识别积分类型
题目中的积分是 $\int \dfrac {1}{{x}^{2}}\sin \dfrac {3}{x}dx$，这是一个需要使用换元法的积分问题。观察到 $\dfrac{1}{x^2}$ 可以看作是 $\dfrac{3}{x}$ 的导数的常数倍，因此可以考虑使用换元法。
步骤 2：换元
设 $u = \dfrac{3}{x}$，则 $du = -\dfrac{3}{x^2}dx$，即 $-\dfrac{1}{3}du = \dfrac{1}{x^2}dx$。将原积分中的 $\dfrac{1}{x^2}dx$ 替换为 $-\dfrac{1}{3}du$，得到 $\int \sin u \cdot (-\dfrac{1}{3})du$。
步骤 3：计算积分
计算 $\int \sin u \cdot (-\dfrac{1}{3})du = -\dfrac{1}{3}\int \sin u du = -\dfrac{1}{3}(-\cos u) + C = \dfrac{1}{3}\cos u + C$。将 $u = \dfrac{3}{x}$ 代回，得到 $\dfrac{1}{3}\cos \dfrac{3}{x} + C$。
题目中的积分是 $\int \dfrac {1}{{x}^{2}}\sin \dfrac {3}{x}dx$，这是一个需要使用换元法的积分问题。观察到 $\dfrac{1}{x^2}$ 可以看作是 $\dfrac{3}{x}$ 的导数的常数倍，因此可以考虑使用换元法。
步骤 2：换元
设 $u = \dfrac{3}{x}$，则 $du = -\dfrac{3}{x^2}dx$，即 $-\dfrac{1}{3}du = \dfrac{1}{x^2}dx$。将原积分中的 $\dfrac{1}{x^2}dx$ 替换为 $-\dfrac{1}{3}du$，得到 $\int \sin u \cdot (-\dfrac{1}{3})du$。
步骤 3：计算积分
计算 $\int \sin u \cdot (-\dfrac{1}{3})du = -\dfrac{1}{3}\int \sin u du = -\dfrac{1}{3}(-\cos u) + C = \dfrac{1}{3}\cos u + C$。将 $u = \dfrac{3}{x}$ 代回，得到 $\dfrac{1}{3}\cos \dfrac{3}{x} + C$。