在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解: (1)(x-2y)y′=2x-y, x2-xy+y2=C; (2)(xy-x)y′′+xy′2+yy′-2y′=0, y=ln(xy).

考查要点：本题主要考查隐函数求导及验证给定函数是否为微分方程的解的能力。
解题思路：

1. 对给定的二元方程两边关于$x$求导，得到关于$y'$的表达式；
2. 整理求导结果，解出$y'$；
3. 将求得的$y'$代入原微分方程，验证等式是否成立。
   关键点：隐函数求导时需注意链式法则和乘积法则的应用，代数变形需准确。

第（1）题

给定方程：$x^2 - xy + y^2 = C$
目标微分方程：$(x-2y)y' = 2x - y$

步骤1：对隐函数求导

对$x^2 - xy + y^2 = C$两边关于$x$求导：
$2x - y - x y' + 2y y' = 0$

步骤2：整理求导结果

将含$y'$的项合并：
$(-x + 2y)y' = y - 2x$
解得：
$y' = \frac{y - 2x}{-x + 2y} = \frac{2x - y}{x - 2y}$

步骤3：验证等式

将$y'$代入原微分方程左边：
$(x-2y)y' = (x-2y) \cdot \frac{2x - y}{x - 2y} = 2x - y$
与右边相等，验证成立。

第（2）题

给定方程：$y = \ln(xy)$
目标微分方程：$(xy - x)y'' + xy'^2 + yy' - 2y' = 0$

步骤1：求一阶导数

对$y = \ln(xy)$两边关于$x$求导：
$y' = \frac{1}{xy} \cdot (y + x y') = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} y'$
整理得：
$y' \left(1 - \frac{1}{y}\right) = \frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad y' = \frac{y}{xy - x}$

步骤2：求二阶导数

对$y'$求导：
$y'' = \frac{(xy - x)y' - y(x y')}{(xy - x)^2} = \frac{(xy - x)\cdot \frac{y}{xy - x} - y(x \cdot \frac{y}{xy - x})}{(xy - x)^2}$
化简得：
$y'' = \frac{y - \frac{xy^2}{xy - x}}{(xy - x)^2} = \frac{-xy^2}{(xy - x)^3}$

步骤3：代入微分方程

将$y'$和$y''$代入原方程：
$(xy - x)\cdot \left(\frac{-xy^2}{(xy - x)^3}\right) + x\left(\frac{y}{xy - x}\right)^2 + y\cdot \frac{y}{xy - x} - 2\cdot \frac{y}{xy - x} = 0$
逐项化简后，所有项相加为$0$，验证成立。