题目
1.（2.0分）函数z=f(x,y)在点(x_(0),y_(0))处可导，则点(x_(0),y_(0))是z=f(x,y)的连续点.A. 对B. 错
1.（2.0分）函数z=f(x,y)在点$(x_{0},y_{0})$处可导，则点$(x_{0},y_{0})$是z=f(x,y)的连续点.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：函数可导的定义
函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可导，意味着存在线性近似： \[ \Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho) \] 其中 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，且 $ o(\rho) $ 是比 $\rho$ 高阶的无穷小。
步骤 2：极限的定义
当 $\rho \to 0$ 时，$\Delta z \to 0$，即： \[ \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0) \] 满足连续性定义。
步骤 3：可导与连续的关系
根据上述定义，如果函数在某点可导，那么它在该点也必须是连续的。因此，可导必连续。
函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可导，意味着存在线性近似： \[ \Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho) \] 其中 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，且 $ o(\rho) $ 是比 $\rho$ 高阶的无穷小。
步骤 2：极限的定义
当 $\rho \to 0$ 时，$\Delta z \to 0$，即： \[ \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0) \] 满足连续性定义。
步骤 3：可导与连续的关系
根据上述定义，如果函数在某点可导，那么它在该点也必须是连续的。因此，可导必连续。