161. (2024.河南) lim_(x to +infty)(1+x)^(4)/(x+1)=（ ）A. 0B. 1C. e^4D. e^-4

本题主要考察重要极限公式的应用及极限的计算。

题目分析

题目题目要求计算极限： $\lim_{x \to +\infty}(1+x)^{\frac{4}{x+1}}$
观察到该极限形式与重要极限 $\_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e$ 相似，可通过变量替换转化为重要极限的形式。

解题步骤

1. 变量替换：
   令 $t = x + 1$ ，当 $x \to +\infty$ 时， $t \ +\infty$ ，此时 $\frac{1}{t} \to 0$ 。
   原极限转化为：
   $\_{t \to +\infty}(1+t)^{\frac{4}{t}}$

2. **指数变形：
   将指数 $\frac{4}{t}$ 拆分为 $4 \cdot \frac{1}{t}$ ，则：
   $(1+t)^{\frac{4}{t}} = \left[(1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^4$

3. 应用重要极限：
   当 $t \to +\infty$ 时， $\frac{1}{t} \to 0$ ，根据重要极限 $_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e$ ，得：
   $_{t \to +\infty}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e$

4. 计算最终极限：
   因此：
   $_{t \to +\infty}\left[(1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^4 = e^4?$
   等等，这里发现之前的变量替换可能混淆了形式，重新梳理：
   原极限 $(1+x)^{\frac{4}{x+1}}$ 中，指数 $\frac{4}{x+1}$ 当 $x\to+\infty$ 时趋于0，底数 $1+x$ 趋于+infty，属于“1^infty”型极限，正确做法是：
   设 $(1+x)^{\frac{4}{x+1}}=e^{\frac{4}{x+1}\ln(1+x)}$
   当 $x\toinfty$ 时， $\ln(1+x)\sim\ln x$ ，则 $\frac{4\ln(1+x)}{x+1}\to0$ （无穷小量乘有界量），故指数趋于0，因此：
   $e^0=1$

结论

原极限值为1，正确答案为B。