设 A 是 3 × 3 的矩阵, 是 3 维列向量,且线性无关,已知 ( 1 ) 证明线性无关 ; ( 2 ) 求

步骤 1：构造矩阵关系
由题意，我们有以下矩阵关系：
$A\alpha_1 = \alpha_2 + \alpha_3$
$A\alpha_2 = \alpha_1 + \alpha_3$
$A\alpha_3 = \alpha_1 + \alpha_2$
步骤 2：将上述关系写成矩阵形式
将上述关系写成矩阵形式，我们得到：
$A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
步骤 3：证明线性无关
由于$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，即$|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3| \neq 0$，所以$|A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)| \neq 0$，从而$A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3$线性无关。
步骤 4：求矩阵A的行列式
由步骤2的矩阵关系，我们有：
$|A| = \frac{|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3|}{|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3|} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$
计算行列式：
$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0(0-1) - 1(0-1) + 1(1-0) = 2$