22. 若 sum_(n=1)^inftya_(n)(x+1)^n 在 x=1 处收敛，则此级数在 x=-2 处A. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 敛散性不定

本题主要考查幂级数级数的收敛半径、收敛区间及收敛性判断，关键是利用阿贝尔定理分析幂级数的取值范围与收敛性的关系。

步骤1：确定幂级数的形式与收敛半径

给定幂级数为 $\sum_{n=1^\infty a_n(x+1)^n$，这是一个标准幂级数，可通过变量替换 $t=x+1$1转化为 $\sumn=1^\infty a_n t^n$，其中 $t=x+1$。

题目已知：当 $x=1时，原级数收敛。此时 $t=x+1=1+1=2$，即 $\sumn=1^\infty a_n 2^n$ 收敛。根据**阿贝尔定理**：若幂级数 $\sumn=1^\infty a_n t^n$ 在 t=t_0$（$t_0\neq0$）收敛，则对所有满足 $|t|<|t_0|$ 的 $t$，该幂级数绝对收敛。

因此，该幂级数的收敛半径 $R\geq|t_0|=2：2$，但收敛半径 $R$ 可能大于2（此时收敛区间为 $(-R,R)$），也可能等于2（此时收敛区间为 $[-2,2)$ 或 $(-2,2]$ 等）。

步骤2：分析x=-2处的t值

当 $x=-2$ 时，$t=x+1=-2+1=-1$，即对应幂级数 $\sumn=1^\infty a_n (-1)^n=\sumn=1^\infty a_n t^n$ 在 $t=-1$ 处的收敛性。

由于 $|t|=|-1|=1<2\leq R$，根据阿贝尔定理，对所有 $|t|<2$ 的 $t$，幂级数绝对收敛。因此，$t=-1$ 时级数绝对收敛，即原级数在 $x=-2处绝对收敛。

步骤3：排除干扰选项

• 条件收敛：仅当级数收敛但不绝对收敛时成立，此处绝对收敛，排除A。
• 发散：与阿贝尔定理矛盾，排除C。
• 敛散性不定：由收敛半径 $R\geq22$ 保证 $|t|<2$ 时绝对收敛，故x=-2处必绝对收敛，排除D。