[单选题]无穷大量与无穷小量-|||-变量 dfrac (1)(x)sin dfrac (1)(x)-|||-A.是 arrow 0 时的无穷小-|||-B.是 arrow 0 时的无穷大-|||-C.有界,但不是 arrow 0 时的无穷小-|||-D.无界,但不是 arrow 0 时的无穷大

考查要点：本题主要考查变量在特定趋近过程中的有界性、无穷小与无穷大的判断，以及极限的存在性。

解题核心思路：

1. 分析函数结构：函数 $\dfrac{1}{x}\sin \dfrac{1}{x}$ 由两部分组成：$\dfrac{1}{x}$（无界增长）和 $\sin \dfrac{1}{x}$（有界振荡）。
2. 判断有界性：通过取特定路径（如 $x = \dfrac{1}{n\pi + \pi/2}$）说明函数值可无限增大，从而证明无界。
3. 判断极限是否存在：通过不同趋近路径（如 $x = \dfrac{1}{n\pi}$ 和 $x = \dfrac{1}{n\pi + \pi/2}$）说明函数值振荡且无收敛趋势，因此极限不存在。
4. 排除干扰选项：结合有界性与极限存在性，排除错误选项，确定正确答案。

破题关键点：

• 无界性：通过构造使 $\sin \dfrac{1}{x} = \pm 1$ 的路径，证明函数值可无限增大。
• 非无穷大：虽然无界，但函数值在不同路径下趋向不同结果（如0或无穷大），因此整体上不是无穷大。

选项分析

选项A：是 $x \rightarrow 0$ 时的无穷小

错误。若函数为无穷小，则 $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x}\sin \dfrac{1}{x} = 0$。但取 $x = \dfrac{1}{n\pi + \pi/2}$（$n$ 为自然数），此时 $\sin \dfrac{1}{x} = \pm 1$，函数值为 $\dfrac{1}{x} = n\pi + \dfrac{\pi}{2}$，当 $n \to \infty$ 时，函数值趋向无穷大，矛盾。

选项B：是 $x \rightarrow 0$ 时的无穷大

错误。若函数为无穷大，则对任意 $M > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x| < \delta$ 时，$|\dfrac{1}{x}\sin \dfrac{1}{x}| > M$。但取 $x = \dfrac{1}{n\pi}$（$n$ 为自然数），此时 $\sin \dfrac{1}{x} = 0$，函数值恒为0，与无穷大矛盾。

选项C：有界，但不是 $x \rightarrow 0$ 时的无穷小

错误。取 $x = \dfrac{1}{n\pi + \pi/2}$，此时 $\dfrac{1}{x}\sin \dfrac{1}{x} = n\pi + \dfrac{\pi}{2}$，当 $n \to \infty$ 时，函数值无界，因此不成立。

选项D：无界，但不是 $x \rightarrow 0$ 时的无穷大

正确。

1. 无界性：取 $x = \dfrac{1}{n\pi + \pi/2}$，函数值为 $n\pi + \dfrac{\pi}{2}$，当 $n \to \infty$ 时趋向无穷大，说明无界。
2. 非无穷大：取 $x = \dfrac{1}{n\pi}$，函数值恒为0，说明不存在整体趋向无穷大的趋势。