题目
若((dfrac {a+i)(1-i))}^2=-1，则a=；A 0 B 2 C 1 D 3
若
，则a=；
A 0
B 2
C 1
D 3
题目解答
答案
先将
化简，再对其平方等于-1进行求解。
为了将分母实数化，给分子分母同时乘以1 + i，得到
展开分子
展开分母
所以
展开得
化简
则
所以
又因为
，则实部和虚部分别对应相等。
实部-a = -1，解得a = 1。
综上所述，答案是 C。
解析
步骤 1：化简复数表达式
为了将分母实数化，给分子分母同时乘以1 + i，得到$\dfrac {(a+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$。
步骤 2：展开分子和分母
分子$(a+i)(1+i)=a+ai+i+{i}^{2}=(a-1)+(a+1)i$。
分母$(1-i)(1+i)=1-{i}^{2}=2$。
步骤 3：化简复数表达式
所以$\dfrac {a+i}{1-i}=\dfrac {(a-1)+(a+1)i}{2}=\dfrac {a-1}{2}+\dfrac {a+1}{2}i$。
步骤 4：平方复数表达式
${(\dfrac {a+i}{1-i})}^{2}={(\dfrac {a-1}{2}+\dfrac {a+1}{2}i)}^{2}$。
步骤 5：展开平方表达式
展开得${(\dfrac {a-1}{2}+\dfrac {a+1}{2}i)}^{2}={(\dfrac {a-1}{2})}^{2}-{(\dfrac {a+1}{2})}^{2}+2\times \dfrac {a-1}{2}\times \dfrac {a-1}{2}i$。
步骤 6：化简平方表达式
${(\dfrac {a-1}{2})}^{2}=\dfrac {{a}^{2}-2a+1}{4}$，${(\dfrac {a+1}{2})}^{2}=\dfrac {{a}^{2}+2a+1}{4}$，$2\times \dfrac {a-1}{2}\times \dfrac {a+1}{2}i=\dfrac {(a-1)(a+1)}{2}i=\dfrac {{a}^{2}-1}{2}i$。
步骤 7：合并平方表达式
所以${(\dfrac {a-1}{2}+\dfrac {a+1}{2}i)}^{2}=-a+\dfrac {{a}^{2}-1}{2}i$。
步骤 8：根据已知条件求解a
又因为${(\dfrac {a+i}{1-i})}^{2}=-1$，即$-a+\dfrac {{a}^{2}-1}{2}i=-1$，则实部和虚部分别对应相等。
步骤 9：求解实部
实部$-a = -1$，解得$a = 1$。
为了将分母实数化，给分子分母同时乘以1 + i，得到$\dfrac {(a+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$。
步骤 2：展开分子和分母
分子$(a+i)(1+i)=a+ai+i+{i}^{2}=(a-1)+(a+1)i$。
分母$(1-i)(1+i)=1-{i}^{2}=2$。
步骤 3：化简复数表达式
所以$\dfrac {a+i}{1-i}=\dfrac {(a-1)+(a+1)i}{2}=\dfrac {a-1}{2}+\dfrac {a+1}{2}i$。
步骤 4：平方复数表达式
${(\dfrac {a+i}{1-i})}^{2}={(\dfrac {a-1}{2}+\dfrac {a+1}{2}i)}^{2}$。
步骤 5：展开平方表达式
展开得${(\dfrac {a-1}{2}+\dfrac {a+1}{2}i)}^{2}={(\dfrac {a-1}{2})}^{2}-{(\dfrac {a+1}{2})}^{2}+2\times \dfrac {a-1}{2}\times \dfrac {a-1}{2}i$。
步骤 6：化简平方表达式
${(\dfrac {a-1}{2})}^{2}=\dfrac {{a}^{2}-2a+1}{4}$，${(\dfrac {a+1}{2})}^{2}=\dfrac {{a}^{2}+2a+1}{4}$，$2\times \dfrac {a-1}{2}\times \dfrac {a+1}{2}i=\dfrac {(a-1)(a+1)}{2}i=\dfrac {{a}^{2}-1}{2}i$。
步骤 7：合并平方表达式
所以${(\dfrac {a-1}{2}+\dfrac {a+1}{2}i)}^{2}=-a+\dfrac {{a}^{2}-1}{2}i$。
步骤 8：根据已知条件求解a
又因为${(\dfrac {a+i}{1-i})}^{2}=-1$，即$-a+\dfrac {{a}^{2}-1}{2}i=-1$，则实部和虚部分别对应相等。
步骤 9：求解实部
实部$-a = -1$，解得$a = 1$。