题目

(2)lim_(xtoinfty)(x^2+cos^2x-1)/((x+sin x)^2)

(2)$\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+\cos^{2}x-1}{(x+\sin x)^{2}}$

题目解答

答案

将分子利用恒等式 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 进行变换，得： \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - \sin^2 x}{(x + \sin x)^2} \] 分子分母同除以 $x^2$，得： \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{\sin^2 x}{x^2}}{\left(1 + \frac{\sin x}{x}\right)^2} \] 由于 $\sin x$ 有界，$\frac{\sin x}{x} \to 0$，$\frac{\sin^2 x}{x^2} \to 0$，故极限为： \[ \frac{1 - 0}{(1 + 0)^2} = 1 \] **答案：** $\boxed{1}$

解析

考查要点：本题主要考查无穷大极限的计算，涉及三角恒等式的应用、有界函数与无穷大比较的性质。

解题核心思路：

  1. 分子变形：利用$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$简化分子表达式，消去常数项。
  2. 分式化简：分子分母同除以$x^2$，将问题转化为分析$\frac{\sin x}{x}$和$\frac{\sin^2 x}{x^2}$的极限。
  3. 极限性质应用：利用$\sin x$有界（$|\sin x| \leq 1$），结合$\frac{\text{有界}}{x} \to 0$的性质求解。

步骤1：分子变形
利用三角恒等式$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$，原式分子可化简为：
$x^2 + \cos^2 x - 1 = x^2 + (1 - \sin^2 x) - 1 = x^2 - \sin^2 x.$

步骤2：分式化简
将分子和分母同时除以$x^2$：
$\frac{x^2 - \sin^2 x}{(x + \sin x)^2} = \frac{1 - \frac{\sin^2 x}{x^2}}{\left(1 + \frac{\sin x}{x}\right)^2}.$

步骤3：分析极限

  • 分子部分：$\frac{\sin^2 x}{x^2}$中，$\sin^2 x \leq 1$，故$\frac{\sin^2 x}{x^2} \leq \frac{1}{x^2} \to 0$。
  • 分母部分：$\frac{\sin x}{x}$中，$\sin x$有界，$\frac{\sin x}{x} \to 0$，因此$\left(1 + \frac{\sin x}{x}\right)^2 \to 1^2 = 1$。

综上，原式极限为：
$\frac{1 - 0}{1^2} = 1.$