题目

(2)lim_(xto0)[(1)/(ln(1+tan^2)x)-(1)/(ln(1+x^2))].

$(2)\lim_{x\to0}\left[\frac{1}{\ln(1+\tan^{2}x)}-\frac{1}{\ln(1+x^{2})}\right].$

题目解答

答案

为了求解极限 $\lim_{x\to0}\left[\frac{1}{\ln(1+\tan^{2}x)}-\frac{1}{\ln(1+x^{2})}\right]$，我们首先使用泰勒展开式来近似 $\ln(1+\tan^2 x)$ 和 $\ln(1+x^2)$。对于小的 $x$，我们有： \[ \tan x \approx x + \frac{x^3}{3} + O(x^5) \] 因此， \[ \tan^2 x \approx \left(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)\right)^2 = x^2 + \frac{2x^4}{3} + O(x^6) \] 利用 $\ln(1+y) \approx y - \frac{y^2}{2} + O(y^3)$ 对于小的 $y$，我们得到： \[ \ln(1+\tan^2 x) \approx \tan^2 x - \frac{\tan^4 x}{2} + O(\tan^6 x) \approx x^2 + \frac{2x^4}{3} - \frac{x^4}{2} + O(x^6) = x^2 + \frac{x^4}{6} + O(x^6) \] 同样地， \[ \ln(1+x^2) \approx x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6) \] 现在，我们需要求解： \[ \lim_{x\to0}\left[\frac{1}{\ln(1+\tan^2 x)} - \frac{1}{\ln(1+x^2)}\right] = \lim_{x\to0}\left[\frac{1}{x^2 + \frac{x^4}{6} + O(x^6)} - \frac{1}{x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6)}\right] \] 我们可以使用近似 $\frac{1}{a+b} \approx \frac{1}{a} - \frac{b}{a^2}$ 对于小的 $b$： \[ \frac{1}{x^2 + \frac{x^4}{6} + O(x^6)} \approx \frac{1}{x^2} - \frac{\frac{x^4}{6}}{x^4} + O(x^2) = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{6} + O(x^2) \] \[ \frac{1}{x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6)} \approx \frac{1}{x^2} + \frac{\frac{x^4}{2}}{x^4} + O(x^2) = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{2} + O(x^2) \] 因此，表达式变为： \[ \lim_{x\to0}\left[\left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{6} + O(x^2)\right) - \left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2} + O(x^2)\right)\right] = \lim_{x\to0}\left[-\frac{1}{6} - \frac{1}{2} + O(x^2)\right] = -\frac{1}{6} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} \] 所以，极限是： \[ \boxed{-\frac{2}{3}} \]

解析

考查要点：本题主要考查利用泰勒展开式求解复杂极限的能力，涉及对数函数、正切函数的泰勒展开，以及无穷小量的运算技巧。

解题核心思路：

展开关键函数：将$\tan x$展开为泰勒多项式，平方后得到$\tan^2x$的展开式；
展开对数函数：利用$\ln(1+y)$的泰勒展开，分别处理$\ln(1+\tan^2x)$和$\ln(1+x^2)$；
倒数展开与相减：对展开后的分母进行倒数展开，保留到常数项，最后相减求极限。

破题关键点：

保留足够项数：确保展开到$x^4$项，避免高阶项遗漏导致误差；
合理处理倒数展开：利用$\frac{1}{a+b} \approx \frac{1}{a} - \frac{b}{a^2}$简化计算。

步骤1：展开$\tan^2x$

由$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$，平方得：
$\tan^2x = x^2 + \frac{2x^4}{3} + O(x^6).$

步骤2：展开$\ln(1+\tan^2x)$

代入$\ln(1+y) \approx y - \frac{y^2}{2} + O(y^3)$，得：
$\begin{aligned}\ln(1+\tan^2x) &\approx \tan^2x - \frac{(\tan^2x)^2}{2} + O(\tan^6x) \\&= \left(x^2 + \frac{2x^4}{3}\right) - \frac{x^4}{2} + O(x^6) \\&= x^2 + \frac{x^4}{6} + O(x^6).\end{aligned}$

步骤3：展开$\ln(1+x^2)$

直接展开得：
$\ln(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6).$

步骤4：展开倒数并相减

对两个分母分别展开倒数：
$\begin{aligned}\frac{1}{\ln(1+\tan^2x)} &\approx \frac{1}{x^2 + \frac{x^4}{6}} = \frac{1}{x^2} \left(1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)\right) \\&= \frac{1}{x^2} - \frac{1}{6} + O(x^2), \\\frac{1}{\ln(1+x^2)} &\approx \frac{1}{x^2 - \frac{x^4}{2}} = \frac{1}{x^2} \left(1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4)\right) \\&= \frac{1}{x^2} + \frac{1}{2} + O(x^2).\end{aligned}$

相减后：
$\left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{6}\right) - \left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{6} - \frac{1}{2} = -\frac{2}{3}.$