求下列极限lim _(xarrow {0)^+}((1+dfrac {1)(x))}^x

考查要点：本题主要考查极限的求解方法，特别是处理形如“$1^{\infty}$”型不定式的常用技巧，以及变量替换和洛必达法则的应用。

解题核心思路：
当遇到形如$(1 + f(x))^{g(x)}$的极限时，若$f(x) \to 0$且$g(x) \to \infty$（或类似形式），通常通过以下步骤处理：

1. 取自然对数，将原式转化为指数函数形式；
2. 变量替换，将极限转化为更易处理的形式；
3. 利用洛必达法则或等价无穷小替换求解变形后的极限；
4. 最后通过指数运算得到原极限的值。

破题关键点：

• 识别出原式属于“$1^{\infty}$”型不定式，需通过取对数转化为指数函数；
• 通过变量替换$t = \frac{1}{x}$，将极限问题转化为关于$t \to +\infty$的形式；
• 应用洛必达法则或比较对数函数与线性函数的增长速度，求出关键子极限$\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln(1+t)}{t}$。

步骤1：取自然对数
原式为$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$，取自然对数后得到：
$\ln \left[\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right] = \lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right).$

步骤2：变量替换
令$t = \frac{1}{x}$，则当$x \to 0^+$时，$t \to +\infty$。原式可转化为：
$\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln(1 + t)}{t}.$

步骤3：应用洛必达法则
分子$\ln(1+t)$和分母$t$均趋于$+\infty$，满足洛必达法则条件：
$\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln(1+t)}{t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{\frac{1}{1+t}}{1} = \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{1+t} = 0.$

步骤4：还原指数形式
原极限的自然对数部分极限为$0$，因此原极限为：
$e^0 = 1.$