题目
8.曲线 =dfrac ({x)^3+x-2}({x)^2-1}(e)^dfrac (1{x)} 的渐近线条数为 ()-|||-(A)1 (B)2 (C)3
题目解答
答案
解析
步骤 1：化简函数
首先，我们化简给定的函数 $y=\dfrac {{x}^{3}+x-2}{{x}^{2}-1}{e}^{\dfrac {1}{x}}$。注意到分子和分母都可以因式分解：
$$
y=\dfrac {(x^2+x-2)}{(x^2-1)}{e}^{\dfrac {1}{x}}=\dfrac {(x+2)(x-1)}{(x+1)(x-1)}{e}^{\dfrac {1}{x}}=\dfrac {(x+2)}{(x+1)}{e}^{\dfrac {1}{x}}
$$
步骤 2：确定垂直渐近线
观察化简后的函数，可以看到分母为零时，即 $x=-1$ 时，函数没有定义。因此，$x=-1$ 是一条垂直渐近线。
步骤 3：确定水平渐近线
考虑当 $x$ 趋向于正无穷或负无穷时，函数的极限。由于 $e^{\frac{1}{x}}$ 当 $x$ 趋向于正无穷或负无穷时趋向于1，我们主要考虑 $\dfrac {(x+2)}{(x+1)}$ 的极限。当 $x$ 趋向于正无穷或负无穷时，$\dfrac {(x+2)}{(x+1)}$ 趋向于1。因此，$y=1$ 是一条水平渐近线。
步骤 4：确定斜渐近线
由于函数的分子和分母的次数相同，我们可以通过计算 $\lim_{x \to \infty} \left( \dfrac {(x+2)}{(x+1)}{e}^{\dfrac {1}{x}} - 1 \right)$ 来确定是否存在斜渐近线。由于 $e^{\frac{1}{x}}$ 趋向于1，我们主要考虑 $\dfrac {(x+2)}{(x+1)} - 1$ 的极限。这个极限为0，因此不存在斜渐近线。
首先，我们化简给定的函数 $y=\dfrac {{x}^{3}+x-2}{{x}^{2}-1}{e}^{\dfrac {1}{x}}$。注意到分子和分母都可以因式分解：
$$
y=\dfrac {(x^2+x-2)}{(x^2-1)}{e}^{\dfrac {1}{x}}=\dfrac {(x+2)(x-1)}{(x+1)(x-1)}{e}^{\dfrac {1}{x}}=\dfrac {(x+2)}{(x+1)}{e}^{\dfrac {1}{x}}
$$
步骤 2：确定垂直渐近线
观察化简后的函数，可以看到分母为零时，即 $x=-1$ 时，函数没有定义。因此，$x=-1$ 是一条垂直渐近线。
步骤 3：确定水平渐近线
考虑当 $x$ 趋向于正无穷或负无穷时，函数的极限。由于 $e^{\frac{1}{x}}$ 当 $x$ 趋向于正无穷或负无穷时趋向于1，我们主要考虑 $\dfrac {(x+2)}{(x+1)}$ 的极限。当 $x$ 趋向于正无穷或负无穷时，$\dfrac {(x+2)}{(x+1)}$ 趋向于1。因此，$y=1$ 是一条水平渐近线。
步骤 4：确定斜渐近线
由于函数的分子和分母的次数相同，我们可以通过计算 $\lim_{x \to \infty} \left( \dfrac {(x+2)}{(x+1)}{e}^{\dfrac {1}{x}} - 1 \right)$ 来确定是否存在斜渐近线。由于 $e^{\frac{1}{x}}$ 趋向于1，我们主要考虑 $\dfrac {(x+2)}{(x+1)} - 1$ 的极限。这个极限为0，因此不存在斜渐近线。