设三阶方阵 A 的特征值为:lambda_(1)=1，lambda_(2)=2，lambda_(3)=-3，B=A^3-7A+5E，则 B 等于A. -E；B. 2A；C. 4E；D. 5A-E

本题主要考察矩阵特征值的性质：若$\lambda$是方阵$A$的特征值，则对多项式$f(A)$，$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值。

步骤1：确定$B=f(A)$对应的多项式

题目中$B=A^3 - 7A + 5E$，这是矩阵$A$的多项式，记$f(x)=x^3 - 7x + 5$，则$B=f(A)$。

步骤2：计算$B$的特征值

已知$A$的特征值为$\lambda_1=1$，$\lambda_2=2$，$\lambda_3=-3$，根据特征值性质，$B$的特征值为$f(\lambda_1)$，$f(\lambda_2)$，$f(\lambda_3)$：

• $f(1)=1^3 - 7\times1 + 5=1 - 7 + 5=-1$
• $f(2)=2^3 - 7\times2 + 5=8 - 14 + 5=-1$
• $f(-3)=(-3)^3 - 7\times(-3) + 5=-27 + 21 + 5=-1$

步骤3：判断$B$的形式

$B$是三阶方阵，其三特征值均为$-1$，故$B$相似于对角矩阵$\text{diag}(-1,-1,-1)=-E$。又因为相似矩阵秩相同，且$-E$是数量矩阵，故$B=-E$。