题目

甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，设两船的到达时刻在一昼夜(24h)内是等可能的，且甲、乙两船停泊时间分别为1h和2h,求它们中任何一艘船都不需等候码头空出的概率.

题目解答

答案

解：如图，设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x和y，A为“两船都需要等待码头空出”，则 $0%5Cle%20x%5Cle24$ , $0%5Cle%20y%5Cle24$ ，且基本事件空间为 $%5Cleft%5C%7B%CE%A9%E2%88%A3%5Cleft%28x%2Cy%5Cright%29%E2%88%A3x%E2%88%88%5Cleft%5B0%2C24%5Cright%5D%2Cy%E2%88%88%5Cleft%5B0%2C24%5Cright%5D%5Cright%5C%7D$ ,

要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上，
即 $y-x%5Cge1$ 或 $x-y%5Cge2$ ,

故 $A%3D%5Cleft%5C%7B%5Cleft%28x%2Cy%5Cright%29%E2%88%A3y-x%5Cge1%E6%88%96x-y%5Cge2%5Cright%5C%7D%2Cx%E2%88%88%5Cleft%5B0%2C24%5Cright%5D%2Cy%E2%88%88%5Cleft%5B0%2C24%5Cright%5D$ ,

A为图中阴影部分， $%CE%A9$ 为边长是24的正方形,

由几何概型概率公式可得
$P%5Cleft%28A%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%2824-1%5Cright%29%5E2%5Ctimes%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cleft%2824-2%5Cright%29%5E2%5Ctimes%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%7B24%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B506.5%7D%7B576%7D%5Capprox0.879$ ;
综上，其概率约为0.879.