曲线积分 int_(L) xy^2 dx + y varphi(x)dy 与路径无关，且 varphi(0)=1，则 varphi(x)=______。A. (2x+1)^2B. -x^2+1C. x^2+1D. -2x+1

步骤 1：确定积分与路径无关的条件
曲线积分 $\int_{L} xy^2 dx + y \varphi(x)dy$ 与路径无关，意味着向量场 $\mathbf{F} = (P, Q)$ 的旋度为零，其中 $P = xy^2$ 和 $Q = y \varphi(x)$。旋度的条件由下式给出： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} \]

步骤 2：计算 $\frac{\partial P}{\partial y}$
计算 $P$ 关于 $y$ 的偏导数： \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (xy^2) = 2xy \]

步骤 3：计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$
计算 $Q$ 关于 $x$ 的偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (y \varphi(x)) = y \varphi'(x) \]

步骤 4：设置偏导数相等并求解 $\varphi'(x)$
将两个偏导数设置为相等： \[ y \varphi'(x) = 2xy \] 假设 $y \neq 0$，我们可以将两边都除以 $y$： \[ \varphi'(x) = 2x \]

步骤 5：求解 $\varphi(x)$
对 $\varphi'(x)$ 关于 $x$ 进行积分： \[ \varphi(x) = \int 2x \, dx = x^2 + C \] 其中 $C$ 是积分常数。

步骤 6：确定常数 $C$
已知 $\varphi(0) = 1$，代入 $x = 0$： \[ \varphi(0) = 0^2 + C = C = 1 \] 因此，常数 $C$ 是 1，函数 $\varphi(x)$ 是： \[ \varphi(x) = x^2 + 1 \]