题目

验证 v=2x^2-2y^2+x 是调和函数，求相应的解析函数 f(z)=u+iv，使其满足 f(1)=3i.

验证 $v=2x^2-2y^2+x$ 是调和函数，求相应的解析函数 $f(z)=u+iv$，使其满足 $f(1)=3i$.

题目解答

答案

  1. 验证调和函数：
    $ v = 2x^2 - 2y^2 + x $，计算得 $ v_{xx} = 4 $，$ v_{yy} = -4 $，满足 $ v_{xx} + v_{yy} = 0 $，故 $ v $ 是调和函数。

  2. 求解析函数 $ f(z) = u + iv $：
    由柯西-黎曼方程 $ u_x = v_y = -4y $，$ u_y = -v_x = -(4x + 1) $，积分得 $ u = -4xy - y + C $。
    故 $ f(z) = (-4xy - y + C) + i(2x^2 - 2y^2 + x) $。

  3. 确定常数 $ C $：
    由 $ f(1) = 3i $，代入得 $ C = 0 $。

  4. 表达为 $ z $ 的函数：
    $ f(z) = 2iz^2 + iz $。

答案： $\boxed{2iz^2 + iz}$

解析

一、验证$v=2x^2-2y^2+x$是调和函数

调和函数的定义是二阶偏导数满足拉普拉斯方程$v_{xx}+v_{yy}=0$，计算如下：

  • 对$v$求$x$的二阶偏导数：$v_x=\frac{\partial v}{\partial x}=4x+1$，$v_{xx}=\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}=4$；
  • 对$v$求$y$的二阶偏导数：$v_y=\frac{\partial v}{\partial y}=-4y$，$v_{yy}=\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=-4$；
  • 相加得$v_{xx}+v_{yy}=4+(-4)=0$，故$v$是调和函数。

二、求解析函数$f(z)=u+iv$

解析函数需满足柯西-黎曼方程：$u_x=v_y$，$u_y=-v_x$。
1复变量$z=x+iy$的解析函数$f(z)$，其实部$u(x,y)$和虚部$v(x,y)$满足柯西-黎曼方程：

  1. 由$u_x=v_y$：$v_y=-4y$，故$u_x=-4y$，对$x$积分得$u=-4xy+g(y)$（$g(y)$仅含$y$）；
  2. 由$u_y=-v_x$：$v_x=4x+1$，故$u_y=-(4x+1)$，对$u=-4xy+g(y)$求$y$偏导得$u_y=-4x+g'(y)$，则$-4x+g'(y)=-(4x+1)$，解得$g'(y)=-1$，积分得$g(y)=-y+C$（$C$为常数）；
  3. 故$u=-4xy - y + C$，解析函数为$f(z)=(-4xy - y + C)+i(2x^2 - 2y^2 + x)$。

三、确定常数$C$及化简为$z$的函数

由$f(1)=3i$，代入$z=1$（即$x=1,y=0$）：
$f(1)=(-4\cdot1\cdot0 - 0 + C)+i(2\cdot1^2 - 2\cdot0^2 + 1)=C + 3i=3i$，故$C=0$。

将$f(z)=-4xy - y + i(2x^2 - 2y^2 + x)$用$z=x+iy$表示：

  • $z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy$，则$2iz^2=2i(x^2-y^2+2ixy)=2ix^2-2iy^2-4xy=-4xy+i(2x^2-2y^2)$；
  • $iz=i(x+iy)=ix - y=-y + ix$；
  • 相加得$2iz^2 + iz=(-4xy - y)+i(2x^2 - 2y^2 + x)=f(z)$。