题目

6.若lim_(ntoinfty)u_(n)=a，证明lim_(ntoinfty)|u_(n)|=|a|.并举例说明：即使数列(|x_{n)|}有极限，数列(x_{n)}也未必有极限.

6.若$\lim_{n\to\infty}u_{n}=a$，证明$\lim_{n\to\infty}|u_{n}|=|a|$. 并举例说明：即使数列{|x_{n}|}有极限，数列{x_{n}}也未必有极限.

题目解答

答案

**证明：** 已知 $\lim_{n \to \infty} u_n = a$，根据极限定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，有 $|u_n - a| < \varepsilon$。 由绝对值不等式 $||u_n| - |a|| \leq |u_n - a|$，可得 \[ ||u_n| - |a|| < \varepsilon, \] 因此 $\lim_{n \to \infty} |u_n| = |a|$。 **反例：** 取数列 $x_n = (-1)^n$，则 $|x_n| = 1$，显然 $\lim_{n \to \infty} |x_n| = 1$。 但 $\{x_n\}$ 在 $-1$ 和 $1$ 之间 oscillate，无极限。 **结论：** 若 $\lim_{n \to \infty} u_n = a$，则 $\lim_{n \to \infty} |u_n| = |a|$。 数列 $\{x_n\} = (-1)^n$ 满足 $\lim_{n \to \infty} |x_n| = 1$，但 $\{x_n\}$ 无极限。 \[ \boxed{ \begin{array}{l} \text{若 } \lim_{n \to \infty} u_n = a, \text{ 则 } \lim_{n \to \infty} |u_n| = |a|。 \\ \text{反例：} x_n = (-1)^n, \text{ 满足 } \lim_{n \to \infty} |x_n| = 1, \text{ 但 } \{x_n\} \text{ 无极限。} \end{array} } \]

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的性质，特别是绝对值函数与极限的关系，以及反例的构造能力。

解题核心思路：

  1. 证明部分：利用绝对值的三角不等式（即$||x| - |y|| \leq |x - y|$），结合已知$\lim u_n = a$，推导出$\lim |u_n| = |a|$。
  2. 反例部分：构造一个数列$\{x_n\}$，使其绝对值数列$\{|x_n|\}$收敛，但原数列$\{x_n\}$发散。关键在于找到符号交替但绝对值趋于稳定的数列。

破题关键点：

  • 绝对值不等式的应用：通过不等式将$|u_n|$与$a$的关系转化为已知的$u_n$与$a$的关系。
  • 反例的构造：需满足绝对值趋于定值，但原数列因符号交替或无界而发散。

证明部分

  1. 已知条件：$\lim_{n \to \infty} u_n = a$，即对任意$\varepsilon > 0$，存在$N$，当$n > N$时，$|u_n - a| < \varepsilon$。
  2. 应用绝对值不等式：对任意$n$，有
    $||u_n| - |a|| \leq |u_n - a|.$
  3. 结合极限定义：当$n > N$时，$|u_n - a| < \varepsilon$，因此
    $||u_n| - |a|| < \varepsilon.$
  4. 结论：根据极限定义，$\lim_{n \to \infty} |u_n| = |a|$。

反例部分

  1. 构造数列：取$x_n = (-1)^n$，则$|x_n| = 1$。
  2. 分析绝对值数列：$\lim_{n \to \infty} |x_n| = 1$。
  3. 分析原数列：$\{x_n\}$在$-1$和$1$之间无限震荡，无极限。
  4. 结论：$\{|x_n|\}$收敛但$\{x_n\}$发散，说明原命题的逆不成立。