[题目]-|||-求曲线 =dfrac (1)({x)^2-1} 的渐近线.

考查要点：本题主要考查函数渐近线的求解方法，包括垂直渐近线、水平渐近线的判断。

解题核心思路：

1. 垂直渐近线：寻找函数无定义的点（分母为零的点），并验证该点附近函数值是否趋向无穷大。
2. 水平渐近线：计算当$x \rightarrow \pm\infty$时函数的极限值，若极限存在则为水平渐近线。
3. 斜渐近线：若分子次数比分母高1，则需计算极限斜率和截距；本题分子次数低于分母，故无需考虑。

破题关键点：

• 分母因式分解：将分母$x^2-1$分解为$(x-1)(x+1)$，快速定位垂直渐近线的候选点。
• 极限方向分析：通过左右极限的符号差异，确认垂直渐近线的存在性。
• 无穷远处趋势：通过最高次项比较，简化极限计算。

垂直渐近线

1. 分母为零的点：
   解方程$x^2 - 1 = 0$，得$x = 1$或$x = -1$，此时函数无定义。

2. 左右极限分析：

   • 当$x \rightarrow 1^-$时：
     $x$略小于1，分母$(x-1)(x+1)$中$(x-1)$为负小量，$(x+1)$为正，整体分母趋近于$0^-$，故$\lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{1}{x^2-1} = -\infty$。
   • 当$x \rightarrow 1^+$时：
     分母趋近于$0^+$，故$\lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{1}{x^2-1} = +\infty$。
   • 当$x \rightarrow -1^-$时：
     分母趋近于$0^+$，故$\lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{1}{x^2-1} = +\infty$。
   • 当$x \rightarrow -1^+$时：
     分母趋近于$0^-$，故$\lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{1}{x^2-1} = -\infty$。

   结论：直线$x=1$和$x=-1$为垂直渐近线。

水平渐近线

1. 计算无穷远处极限：
   当$x \rightarrow \pm\infty$时，分母$x^2-1 \approx x^2$，故$\lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{1}{x^2-1} = \lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{1}{x^2} = 0$。

   结论：直线$y=0$为水平渐近线。

斜渐近线

由于分子次数（0次）比分母次数（2次）低，且差值不为1，故不存在斜渐近线。