题目
8.已知 lim _(xarrow infty )dfrac ((a-1){x)^2-2x+3}({x)^2+x-5}=0 ,求a的值.
题目解答
答案
本题考查了极限的运算，熟练掌握极限的运算法则是决该题的关键.
：
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {(a-1){x}^{2}-2x+3}{{x}^{2}+x-5}=0$
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {(a-1){x}^{2}-2x+3}{{x}^{2}+x-5}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {(a-1){x}^{2}}{{x}^{2}}=\lim _{x\rightarrow \infty }(a-1)=0$
$a-1=0$
$a=1$
：
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {(a-1){x}^{2}-2x+3}{{x}^{2}+x-5}=0$
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {(a-1){x}^{2}-2x+3}{{x}^{2}+x-5}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {(a-1){x}^{2}}{{x}^{2}}=\lim _{x\rightarrow \infty }(a-1)=0$
$a-1=0$
$a=1$
解析
步骤 1：确定极限形式
首先，观察给定的极限形式 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {(a-1){x}^{2}-2x+3}{{x}^{2}+x-5}$，这是一个关于$x$的多项式比值的极限，当$x$趋向于无穷大时，最高次项的系数将决定极限的值。
步骤 2：简化极限表达式
为了求解这个极限，我们可以通过除以$x^2$来简化表达式，这样可以更容易地看到$x$趋向于无穷大时的极限值。即
$$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {(a-1){x}^{2}-2x+3}{{x}^{2}+x-5} = \lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {(a-1)-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}}$$
步骤 3：计算极限
当$x$趋向于无穷大时，$\frac{2}{x}$，$\frac{3}{x^2}$，$\frac{1}{x}$，$\frac{5}{x^2}$都趋向于0，因此极限简化为
$$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {(a-1)-0+0}{1+0-0} = a-1$$
根据题目条件，这个极限等于0，所以有$a-1=0$。
步骤 4：求解a的值
解方程$a-1=0$，得到$a=1$。
首先，观察给定的极限形式 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {(a-1){x}^{2}-2x+3}{{x}^{2}+x-5}$，这是一个关于$x$的多项式比值的极限，当$x$趋向于无穷大时，最高次项的系数将决定极限的值。
步骤 2：简化极限表达式
为了求解这个极限，我们可以通过除以$x^2$来简化表达式，这样可以更容易地看到$x$趋向于无穷大时的极限值。即
$$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {(a-1){x}^{2}-2x+3}{{x}^{2}+x-5} = \lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {(a-1)-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}}$$
步骤 3：计算极限
当$x$趋向于无穷大时，$\frac{2}{x}$，$\frac{3}{x^2}$，$\frac{1}{x}$，$\frac{5}{x^2}$都趋向于0，因此极限简化为
$$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {(a-1)-0+0}{1+0-0} = a-1$$
根据题目条件，这个极限等于0，所以有$a-1=0$。
步骤 4：求解a的值
解方程$a-1=0$，得到$a=1$。