例13 设有线性方程组-|||- ) (1+lambda )(x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)=0 (x)_(1)+(1+lambda )(x)_(2)+(x)_(3)=3 (x)_(1)+(x)_(2)+(1+lambda )(x)_(3)=lambda .-|||-问λ取何值时,此方程组(1)有惟一解;(2)无解;(3)有无限多解?并在有无-|||-限多解时求其通解.

考查要点：本题主要考查线性方程组解的情况判断，涉及行列式、秩的计算以及通解的求解方法。

解题核心思路：

1. 行列式法：当系数矩阵行列式非零时，方程组有唯一解；
2. 秩判别法：当行列式为零时，通过比较系数矩阵和增广矩阵的秩，判断无解或无限多解；
3. 通解求法：当方程组有无限多解时，通过行阶梯形矩阵确定自由变量，写出通解。

破题关键点：

• 计算行列式：通过行变换简化行列式的计算，得到行列式为 $\lambda^2(\lambda + 3)$；
• 分析特殊值：当 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = -3$ 时，分别判断增广矩阵和系数矩阵的秩；
• 通解构造：通过自由变量参数化，结合行阶梯形矩阵的方程关系，写出通解。

（1）行列式非零时（唯一解）

系数矩阵行列式为：
$|A| = \lambda^2(\lambda + 3)$
当 $\lambda \neq 0$ 且 $\lambda \neq -3$ 时，$|A| \neq 0$，方程组有唯一解。

（2）行列式为零时（无解或无限多解）

当 $\lambda = 0$ 时

增广矩阵化简后：
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 3 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
此时 $R(A) = 1$，$R(B) = 2$，无解。

当 $\lambda = -3$ 时

增广矩阵化简后：
$\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & 3 \\0 & 1 & -1 & -2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
此时 $R(A) = R(B) = 2$，有无限多解。

（3）无限多解的通解

由行阶梯形矩阵得：
$\begin{cases}x_1 = x_3 - 1 \\x_2 = x_3 - 2\end{cases}$
通解为：
$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad c \in \mathbb{R}$