题目
(x)=(({x)_(1)-1)}^2+(x)_(2)-|||-s.t. _(1)(x)=-(x)_(1)-(x)_(2)+2geqslant 0,-|||-_(2)(x)=(x)_(2)geqslant 0-|||-的可行 -1 点.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算目标函数和约束函数的梯度
目标函数 $f(x) = ({x}_{1}-1)^{2} + {x}_{2}$ 的梯度为 $\nabla f(x) = (2({x}_{1}-1), 1)$。
约束函数 ${c}_{1}(x) = -{x}_{1}-{x}_{2}+2$ 的梯度为 ${V}_{1}(x) = (-1, -1)$。
约束函数 ${c}_{2}(x) = {x}_{2}$ 的梯度为 ${V}_{2}(x) = (0, 1)$。
步骤 2：写出 K-T 条件
K-T 条件为：
\[
\left \{ \begin{matrix}
2({x}_{1}-1) + {\lambda }_{1}(-1) + {\lambda }_{2}(0) = 0,\\
1 + {\lambda }_{1}(-1) + {\lambda }_{2}(1) = 0,\\
{\lambda }_{1}(-{x}_{1}-{x}_{2}+2) = 0,\\
{\lambda }_{2}{x}_{2} = 0,\\
{\lambda }_{1} \geqslant 0, {\lambda }_{2} \geqslant 0.
\end{matrix} \right.
\]
步骤 3：分情况讨论求解
若 ${\lambda }_{2} = 0$，由 K-T 条件的第2个式子，可得 ${\lambda }_{1} = -1$。这与 ${\lambda }_{1} \geqslant 0$ 相矛盾，因此 ${\lambda }_{2} > 0$。
再由 K-T 条件的第4个式子，可得 ${x}_{2} = 0$，于是上述方程组变为：
\[
\left \{ \begin{matrix}
2({x}_{1}-1) + {\lambda }_{1}(-1) = 0,\\
1 + {\lambda }_{1}(-1) + {\lambda }_{2} = 0,\\
{\lambda }_{1}(-{x}_{1}+2) = 0,\\
{\lambda }_{1} \geqslant 0, {\lambda }_{2} > 0.
\end{matrix} \right.
\]
若 $-{x}_{1}+2 = 0$，即 ${x}_{1} = 2$，由上述方程组中的第1个式子，可得 ${\lambda }_{1} = -2$。这与 ${\lambda }_{1} \geqslant 0$ 相矛盾，所以 $-{x}_{1}+2 \neq 0$。再由方程组中的第3个式子，可得 ${\lambda }_{1} = 0$。然后，将 ${\lambda }_{1} = 0$ 分别代入上述方程组中的第1个和第2个式子中，可得 ${x}_{1} = 1$，${\lambda }_{2} = 1$。由于 ${x}^{*} = (1,0)^{T}$ 是问题的可行解，并且满足 K-T 条件，因此，${x}^{*} = (1,0)^{T}$ 为所求问题的可行 K-T 点。
目标函数 $f(x) = ({x}_{1}-1)^{2} + {x}_{2}$ 的梯度为 $\nabla f(x) = (2({x}_{1}-1), 1)$。
约束函数 ${c}_{1}(x) = -{x}_{1}-{x}_{2}+2$ 的梯度为 ${V}_{1}(x) = (-1, -1)$。
约束函数 ${c}_{2}(x) = {x}_{2}$ 的梯度为 ${V}_{2}(x) = (0, 1)$。
步骤 2：写出 K-T 条件
K-T 条件为：
\[
\left \{ \begin{matrix}
2({x}_{1}-1) + {\lambda }_{1}(-1) + {\lambda }_{2}(0) = 0,\\
1 + {\lambda }_{1}(-1) + {\lambda }_{2}(1) = 0,\\
{\lambda }_{1}(-{x}_{1}-{x}_{2}+2) = 0,\\
{\lambda }_{2}{x}_{2} = 0,\\
{\lambda }_{1} \geqslant 0, {\lambda }_{2} \geqslant 0.
\end{matrix} \right.
\]
步骤 3：分情况讨论求解
若 ${\lambda }_{2} = 0$，由 K-T 条件的第2个式子，可得 ${\lambda }_{1} = -1$。这与 ${\lambda }_{1} \geqslant 0$ 相矛盾，因此 ${\lambda }_{2} > 0$。
再由 K-T 条件的第4个式子，可得 ${x}_{2} = 0$，于是上述方程组变为：
\[
\left \{ \begin{matrix}
2({x}_{1}-1) + {\lambda }_{1}(-1) = 0,\\
1 + {\lambda }_{1}(-1) + {\lambda }_{2} = 0,\\
{\lambda }_{1}(-{x}_{1}+2) = 0,\\
{\lambda }_{1} \geqslant 0, {\lambda }_{2} > 0.
\end{matrix} \right.
\]
若 $-{x}_{1}+2 = 0$，即 ${x}_{1} = 2$，由上述方程组中的第1个式子，可得 ${\lambda }_{1} = -2$。这与 ${\lambda }_{1} \geqslant 0$ 相矛盾，所以 $-{x}_{1}+2 \neq 0$。再由方程组中的第3个式子，可得 ${\lambda }_{1} = 0$。然后，将 ${\lambda }_{1} = 0$ 分别代入上述方程组中的第1个和第2个式子中，可得 ${x}_{1} = 1$，${\lambda }_{2} = 1$。由于 ${x}^{*} = (1,0)^{T}$ 是问题的可行解，并且满足 K-T 条件，因此，${x}^{*} = (1,0)^{T}$ 为所求问题的可行 K-T 点。