设G=<a>是15阶循环群,求(1) G的所有生成元; (2) G的所有子群。

解:

(1)与15互素的数有:1,2,4,7, 8,11, 13,14共8个数,所以生成元为a,a2,a4,a7 ,a8,a11,a13,a14

(2)15的正因子有1,3,5,15

1阶子群 <a15/1>=<a15>={e}

3阶子群 < a15/3>={e,a5,a10}

5阶子群 < a15/5>={e,a3,a6,a9,a12}

15阶子群 < a15/15>=<a>=G