求下列函数的导数：f( x )=({x)^2}+2x+1f( x )=xln xf( x )=(sin x)/(({x)^2)+2x+1}f( x )=({e)^({x^2)}}f( x )=sin ({e)^({x^2)+x}}f( x )=({x)^x}

考查要点：本题主要考查基本初等函数的导数公式、四则运算法则、链式法则、对数求导法等求导方法的综合应用。

解题思路：

1. 多项式函数直接应用幂法则；
2. 乘积形式使用乘积法则；
3. 分式函数使用商法则；
4. 复合函数需多次应用链式法则；
5. 幂指函数（如$x^x$）需通过取对数转化为乘积形式再求导。

(1) $f(x) = x^2 + 2x + 1$

幂法则直接求导：

• $x^2$的导数为$2x$；
• $2x$的导数为$2$；
• 常数项$1$的导数为$0$。

(2) $f(x) = x \ln x$

乘积法则：

• 设$u = x$，$v = \ln x$；
• $u' = 1$，$v' = \frac{1}{x}$；
• 根据乘积法则：$f'(x) = u'v + uv' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$。

(3) $f(x) = \frac{\sin x}{x^2 + 2x + 1}$

商法则：

• 分子$u = \sin x$，分母$v = (x+1)^2$；
• $u' = \cos x$，$v' = 2(x+1)$；
• 根据商法则：$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\cos x \cdot (x+1)^2 - \sin x \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4}$；
• 化简分母为$(x+1)^3$，分子提取公因式$(x+1)$。

(4) $f(x) = e^{x^2}$

链式法则：

• 外层函数$e^u$，内层函数$u = x^2$；
• 外导数为$e^u$，内导数为$2x$；
• 合成后$f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$。

(5) $f(x) = \sin(e^{x^2 + x})$

多层链式法则：

• 外层函数$\sin u$，中层函数$u = e^v$，内层函数$v = x^2 + x$；
• 外导数$\cos u$，中导数$e^v$，内导数$2x + 1$；
• 合成后$f'(x) = \cos(e^{x^2 + x}) \cdot e^{x^2 + x} \cdot (2x + 1)$。

(6) $f(x) = x^x$

对数求导法：

• 两边取自然对数：$\ln y = x \ln x$；
• 对$x$求导：$\frac{y'}{y} = \ln x + 1$；
• 解得$y' = x^x (1 + \ln x)$。